Итоговая контрольная работа по математике Модуль «Алгебра» Вариант 1 1. Решите уравнение: а)3(x – 2)= x + 2; б) (x - 5)(2x + 7) = 0. 2. а) Постройте график функции у = 3х – 7; б)Принадлежит ли графику функции точка (5; -8)? 3. Упростите выражение: (3m – 7n)² – 9 mm – 5n). 4. Решите систему уравнений: (x - 5y = 8, (2x + 4y = 30. Модуль «Геометрия 5. Выберите верные утверждения: 1) Если угол равен 450, то вертикальный с ним угол равен 45°. 2) Любые две прямые имеют ровно одну общую точку. 3) Через любые три точки проходит ровно одна прямая. 4) Если при пересечении двух прямых соответственные углы равны 65°, то прямые параллельны. В ответ запишите номера верных утверждений в порядке возрастания. 6. Решите задачу: В ДАВС проведена биссектриса AL, ∠ALC = 121°, ∠ABC = 101°. Найдите ∠ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Модуль «Алгебра»

1. 1. Решение уравнений:
   а) \( 3(x - 2) = x + 2 \)
   \( 3x - 6 = x + 2 \)
   \( 3x - x = 2 + 6 \)
   \( 2x = 8 \)
   \( x = 4 \)
   б) \( (x - 5)(2x + 7) = 0 \)
   \( x - 5 = 0 \) или \( 2x + 7 = 0 \)
   \( x = 5 \) или \( x = -\frac{7}{2} \)
2. 2. График функции и точка:
   а) График функции \( y = 3x - 7 \) — прямая. Для построения найдём две точки:
   При \( x = 0 \), \( y = -7 \) (точка (0, -7)).
   При \( y = 0 \), \( 3x = 7 \), \( x = \frac{7}{3} \) (точка (\(\frac{7}{3}\), 0)).
   б) Подставим координаты точки (5, -8) в уравнение функции:
   \( -8 = 3 \cdot 5 - 7 \)
   \( -8 = 15 - 7 \)
   \( -8 = 8 \) — неверно. Точка (5, -8) не принадлежит графику функции.
3. 3. Упрощение выражения:
   \( (3m - 7n)^2 - 9m(m - 5n) \)
   \( = (9m^2 - 42mn + 49n^2) - (9m^2 - 45mn) \)
   \( = 9m^2 - 42mn + 49n^2 - 9m^2 + 45mn \)
   \( = (9m^2 - 9m^2) + (-42mn + 45mn) + 49n^2 \)
   \( = 3mn + 49n^2 \)
4. 4. Решение системы уравнений:
   \( \begin{cases} x - 5y = 8 \\ 2x + 4y = 30 \end{cases} \)
   Из первого уравнения выразим \( x \): \( x = 8 + 5y \).
   Подставим во второе уравнение:
   \( 2(8 + 5y) + 4y = 30 \)
   \( 16 + 10y + 4y = 30 \)
   \( 14y = 30 - 16 \)
   \( 14y = 14 \)
   \( y = 1 \)
   Найдем \( x \): \( x = 8 + 5 \cdot 1 = 8 + 5 = 13 \).

Ответ:
1. а) \( x = 4 \); б) \( x = 5 \) или \( x = -3.5 \).
2. б) Точка (5, -8) не принадлежит графику.
3. \( 3mn + 49n^2 \).
4. \( x = 13, y = 1 \).

Модуль «Геометрия»

1. 5. Верные утверждения:
   1) Верно. Вертикальные углы равны.
   2) Верно. Две различные прямые пересекаются либо в одной точке, либо не пересекаются (параллельны).
   3) Неверно. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит ровно одна прямая. Если точки лежат на одной прямой, то прямая будет одна.
   4) Верно. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
2. 6. Решение задачи:
   Дано:
   \( \Delta ABC \)
   AL — биссектриса
   \( \angle ALC = 121^\circ \)
   \( \angle ABC = 101^\circ \)
   
   Найти:
   \( \angle ACB \)
   
   Решение:
   1. Угол \( \angle ALB \) смежный с \( \angle ALC \).
   \( \angle ALB = 180^\circ - \angle ALC = 180^\circ - 121^\circ = 59^\circ \).
   2. В \( \Delta ABL \) сумма углов равна \( 180^\circ \).
   \( \angle BAL + \angle ALB + \angle ABC = 180^\circ \)
   \( \angle BAL + 59^\circ + 101^\circ = 180^\circ \)
   \( \angle BAL + 160^\circ = 180^\circ \)
   \( \angle BAL = 180^\circ - 160^\circ = 20^\circ \).
   3. AL — биссектриса, значит, она делит \( \angle BAC \) пополам.
   \( \angle BAC = 2 \cdot \angle BAL = 2 \cdot 20^\circ = 40^\circ \).
   4. В \( \Delta ABC \) сумма углов равна \( 180^\circ \).
   \( \angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ \)
   \( 40^\circ + 101^\circ + \angle ACB = 180^\circ \)
   \( 141^\circ + \angle ACB = 180^\circ \)
   \( \angle ACB = 180^\circ - 141^\circ = 39^\circ \).

Ответ:
5. 1, 2, 4.
6. \( 39^\circ \).