Итоговая контрольная работа по математике. Номер 11. Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найдите производную функции: f(x) = \(\frac{1+x}{4-x^2}\)

Решение:

Для нахождения производной функции \( f(x) = \frac{1+x}{4-x^2} \) воспользуемся правилом дифференцирования частного: \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \), где \( u = 1+x \) и \( v = 4-x^2 \).

1. Найдем производную числителя: \( u' = (1+x)' = 1 \).
2. Найдем производную знаменателя: \( v' = (4-x^2)' = -2x \).
3. Подставим найденные значения в формулу производной частного:

\[ f'(x) = \frac{(1)(4-x^2) - (1+x)(-2x)}{(4-x^2)^2} \]

Упростим выражение:

\[ f'(x) = \frac{4-x^2 - (-2x - 2x^2)}{(4-x^2)^2} \]

\[ f'(x) = \frac{4-x^2 + 2x + 2x^2}{(4-x^2)^2} \]

\[ f'(x) = \frac{x^2 + 2x + 4}{(4-x^2)^2} \]

Ответ: \( f'(x) = \frac{x^2 + 2x + 4}{(4-x^2)^2} \).