Итоговая контрольная работа по геометрии (9 класс) 1 вариант № 1. Две стороны параллелограмма равны 3 см и 2√2 см, а угол между ними – 135°. Найдите: 1) большую диагональ параллелограмма; 2) площадь параллелограмма. № 2. В треугольнике АВС известно, что BC = √3 см, AC = √2 см, ∠B = 45°. Найдите угол А. № 3. Около правильного треугольника АВС со стороной 12 см описана окружность с центром О. 1) Найдите площадь сектора, содержащего дугу АС. 2) Какой отрезок является образом стороны ВС при повороте вокруг центра О против часовой стрелки на угол 120°? № 4. Найдите уравнение окружности, являющейся образом окружности (х + 4)² + (у – 5)² = 49 при параллельном переносе на вектор а (-2; 6).

Задание 1. Параллелограмм

Дано:

• Сторона 1: \( a = 3 \) см.
• Сторона 2: \( b = 2\sqrt{2} \) см.
• Угол между ними: \( \alpha = 135^\circ \).

Найти: 1) большую диагональ \( d_1 \) 2) площадь \( S \).

Решение:

1. Диагональ: Используем теорему косинусов для нахождения диагонали. Большая диагональ лежит напротив тупого угла. Другой угол параллелограмма равен \( 180^ - 135^ = 45^ \).
2. \( d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab    \), где \( \alpha = 135^\circ \).
3. \( d_1^2 = 3^2 + (2\sqrt{2})^2 - 2  3  2\sqrt{2}  (135^) \)
4. \( d_1^2 = 9 + 8 - 12\sqrt{2}  (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \)
5. \( d_1^2 = 17 + 12 \)
6. \( d_1^2 = 29 \)
7. \( d_1 = \sqrt{29} \) см.
8. Площадь: Площадь параллелограмма равна произведению двух сторон на синус угла между ними.
9. \( S = a  b   \), где \( \alpha = 135^\circ \).
10. \( S = 3  2\sqrt{2}  (135^) \)
11. \( S = 6\sqrt{2}  \frac{\sqrt{2}}{2} \)
12. \( S = 6 \) см².

Ответ: 1) \( \sqrt{29} \) см; 2) 6 см².

Задание 2. Треугольник АВС

Дано:

• \( BC = \sqrt{3} \) см.
• \( AC = \sqrt{2} \) см.
• \( \angle B = 45^\circ \).

Найти: \( \angle A \).

Решение:

1. Используем теорему синусов: \( \frac{AC}{ B} = \frac{BC}{ A} \)
2. Подставим значения: \( \frac{\sqrt{2}}{ 45^} = \frac{\sqrt{3}}{ A} \)
3. \( \frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{ A} \)
4. \( 2 = \frac{\sqrt{3}}{ A} \)
5. \(  A = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
6. Следовательно, \( \angle A = 30^\circ \).

Ответ: \( 30^\circ \).

Задание 3. Описанная окружность

Дано:

• Правильный треугольник АВС.
• Сторона \( a = 12 \) см.
• Описана окружность с центром О.

Найти: 1) площадь сектора, содержащего дугу АС; 2) образ стороны ВС при повороте.

Решение:

1. Площадь сектора:
2. Для правильного треугольника угол дуги АС равен \( \frac{360^}{3} = 120^ \).
3. Радиус описанной окружности \( R \) для правильного треугольника: \( R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} \) см.
4. Площадь сектора: \( S_{sector} = \frac{\pi R^2  \alpha}{360^} = \frac{\pi (4\sqrt{3})^2  120^}{360^} \)
5. \( S_{sector} = \frac{\pi  48  120}{360} = \frac{\pi  48}{3} = 16\pi \) см².
6. Образ стороны ВС:
7. При повороте на \( 120^ \) против часовой стрелки, точка В перейдет в точку С, а точка С перейдет в точку А.
8. Следовательно, отрезок ВС перейдет в отрезок СА.

Ответ: 1) \( 16\pi \) см²; 2) СА.

Задание 4. Уравнение окружности

Дано:

• Уравнение окружности: \( (x + 4)^2 + (y - 5)^2 = 49 \).
• Вектор переноса: \( \vec{a} = (-2; 6) \).

Найти: уравнение новой окружности.

Решение:

1. При параллельном переносе центр окружности смещается на вектор переноса, а радиус остается прежним.
2. Центр исходной окружности: \( O = (-4; 5) \). Радиус \( r = \sqrt{49} = 7 \).
3. Новый центр окружности: \( O' = (-4 + (-2); 5 + 6) = (-6; 11) \).
4. Радиус новой окружности \( r' = r = 7 \).
5. Уравнение новой окружности: \( (x - (-6))^2 + (y - 11)^2 = 7^2 \)
6. \( (x + 6)^2 + (y - 11)^2 = 49 \).

Ответ: \( (x + 6)^2 + (y - 11)^2 = 49 \).