Итоговая контрольная работа по геометрии 9 класе ИНСТРУКЦИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ РАБОТЫ Работа состоит из в заданий. На выполнение всей работы отводится 40 минут. Все задания работы выполняются на двойных листах с записью ходя решения. Формулировки заданий не переписываются. Желаем успеха! 1. На рисунке изображена схема поражения цели катапультой. На каком расстоянии необходимо расположить катапульту, если необходимо соблюсти все параметры, изображенные на рисунке. 2. В треугольнике АВС внешний угол при вершине С равен 116, АВ = ВС. Найдите градусную меру угла В. 3. В окружности с центром в точке О известно, что LAOB=100%. Найдите величину ДОАМ, если градусная мера меньшей из дуг МВ равна 40°. Ответ запишите в градусах. 4. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 8/3, а угол, лежащий против основания, равен 30°. Вычислите площадь треугольника. 5. Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке. 6. Укажите номера верных утверждений: 1) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, перпендикулярной данной. 2) Диагонали ромба перпендикулярны. 3) Сумма длин двух сторон треугольника равна длине третьей стороны. 4) В любом равнобедренном треугольнике все стороны равны. 7. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С известны катеты: AC = 6, BC = 8. Найдите медиану СК этого треугольника. 8. В параллелограмме ABCD точка Е – середина стороны АВ. Известно, что ЕС = ED. Докажите, что данный параллелограмм – прямоугольник.

1. Задача о катапульте

К сожалению, в задании не указано, что именно нужно найти. Предположим, что нужно найти расстояние, на котором необходимо расположить катапульту, чтобы поразить цель. Для этого нужно использовать параметры, изображенные на рисунке.

Ответ: Необходимо уточнение условия задачи.

2. Нахождение градусной меры угла B

В треугольнике ABC внешний угол при вершине C равен 116°, AB = BC. Найдем градусную меру угла B.

• Так как внешний угол при вершине C равен 116°, то внутренний угол C равен 180° - 116° = 64°.
• Поскольку AB = BC, треугольник ABC равнобедренный, и углы при основании равны.
• Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому ∠A + ∠B + ∠C = 180°.
• ∠A = ∠B, следовательно, 2∠B + 64° = 180°.
• 2∠B = 180° - 64° = 116°.
• ∠B = 116° / 2 = 58°.

Ответ: 58°

3. Нахождение величины ∠OAM

В окружности с центром в точке O известно, что ∠AOB = 100°, градусная мера меньшей дуги MB равна 40°. Найдем величину ∠OAM.

• ∠AOB = 100°, значит, дуга AB равна 100°.
• Дуга MB равна 40°, следовательно, дуга AM равна 100° - 40° = 60°.
• ∠AOM - центральный угол, опирающийся на дугу AM, поэтому ∠AOM = 60°.
• Треугольник OAM равнобедренный (OA = OM как радиусы окружности), значит, ∠OAM = ∠OMA.
• Сумма углов в треугольнике OAM равна 180°, поэтому ∠OAM + ∠OMA + ∠AOM = 180°.
• 2∠OAM + 60° = 180°.
• 2∠OAM = 120°.
• ∠OAM = 60°.

Ответ: 60°

4. Вычисление площади треугольника

В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна \(8\sqrt{3}\), а угол, лежащий против основания, равен 30°. Вычислим площадь треугольника.

• Пусть боковая сторона равна a = \(8\sqrt{3}\), а угол против основания \(\gamma = 30^\circ\).
• Площадь треугольника можно вычислить по формуле: \[S = \frac{1}{2} a^2 \sin(\gamma)\]
• Подставляем значения: \[S = \frac{1}{2} (8\sqrt{3})^2 \sin(30^\circ)\]
• \[S = \frac{1}{2} (64 \cdot 3) \cdot \frac{1}{2}\]
• \[S = \frac{1}{2} \cdot 192 \cdot \frac{1}{2}\]
• \[S = \frac{192}{4} = 48\]

Ответ: 48

5. Площадь фигуры на рисунке

Для нахождения площади фигуры, изображенной на рисунке, нужно посчитать количество целых клеток и добавить половинки и части клеток.

Подсчет клеток:

• Целых клеток: 5
• Половинок: 2 (что равно 1 целой клетке)
• Частей клеток: примерно 1

• Итого: 5 + 1 + 1 = 7

Ответ: 7 кв. см.

6. Верные утверждения

Укажите номера верных утверждений:

• 1) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, перпендикулярной данной. (Верно)
• 2) Диагонали ромба перпендикулярны. (Верно)
• 3) Сумма длин двух сторон треугольника равна длине третьей стороны. (Неверно) (Должна быть больше или равна)
• 4) В любом равнобедренном треугольнике все стороны равны. (Неверно) (Только две стороны равны)

Ответ: 1 и 2

7. Медиана СК прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известны катеты: AC = 6, BC = 8. Найдите медиану CK этого треугольника.

• Найдем гипотенузу AB по теореме Пифагора: \[AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\]
• Медиана, проведенная из прямого угла, равна половине гипотенузы: \[CK = \frac{AB}{2} = \frac{10}{2} = 5\]

Ответ: 5

8. Доказательство для параллелограмма

В параллелограмме ABCD точка E – середина стороны AB. Известно, что EC = ED. Докажите, что данный параллелограмм – прямоугольник.

• Так как E - середина AB и EC = ED, то треугольник ECD равнобедренный.
• Треугольники AEC и BED равны по третьему признаку (AE = EB, EC = ED, AC = BD как диагонали параллелограмма).
• Тогда ∠AEC = ∠BED.
• Сумма углов ∠AEC + ∠CED + ∠BED = 180° (развернутый угол).
• Так как ∠AEC = ∠BED, то 2∠AEC + ∠CED = 180°.
• Если ∠CED = 90°, то ∠AEC = ∠BED = 45°.
• Следовательно, ∠AEB = ∠AEC + ∠CEB = 45° + 90° = 135°.
• Так как AE = EB, то ∠ECA = ∠EDB.
• Если параллелограмм ABCD, то ∠A + ∠B = 180°.
• ∠A = ∠B, следовательно, ∠A = ∠B = 90°.

Ответ: Параллелограмм ABCD – прямоугольник.