Итоговая контрольная работа по алгебре, 8 класс Вариант 2. 1. Выберите неверное равенство; а) √0,04=0,2 б) √36=6 в) 12+√25=17 г) √-5²=-5 2. Найдите значение выражения: 3√400+√2·√32 3. Решить уравнение х²-16=0, a) 4 б) 0;16 в) 0;4 г) 4;-4 4. Решите уравнение х²-4х-32=0. В ответ укажите наибольший корень. 5. Расположите числа в порядке возрастания, ответ обоснуйте: √61; 17/2; 3√7; 8; 2√15. 6. Решите неравенство 12x-8≥2|10x-5|-5 . 7. Решите систему неравенств |5-2x≥0, |3x-9>0. 8. Моторная лодка прошла 56 км против течения реки и 32 км по течению, затратив на весь путь 3 часа. Найдите собственную скорость лодки. Скорость течения реки равна 1 км/ч. Обозначив через х км/ч скорость моторной лодки в стоячей воде, составьте уравнение, соответствующее условию задачи. a) 56/x+1 + 32/x+1 =3 56 32 б) x-1 + x+1 =3 56 32 B) x-1 + x =3 56 32 г) x-1 +3= x+1

Вариант 2.

1. г) $$\sqrt{-5^2} = -5$$. Корень из отрицательного числа не является действительным числом.
2. Решение:
   $$3\sqrt{400} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{32} = 3 \cdot 20 + \sqrt{2 \cdot 32} = 60 + \sqrt{64} = 60 + 8 = 68$$.

   Ответ: 68

3. г) $$x^2 - 16 = 0$$
   

   Решение:

   $$x^2 = 16$$
   $$x = \pm 4$$.

   В варианте г) указаны корни $$4; -4$$, что верно.

4. Решение:
   

   Уравнение $$x^2 - 4x - 32 = 0$$.

   Найдем дискриминант: $$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 + 128 = 144$$.
   $$\sqrt{D} = 12$$.

   Корни уравнения:

   $$x_1 = \frac{4 + 12}{2} = \frac{16}{2} = 8$$.

   $$x_2 = \frac{4 - 12}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$.

   Наибольший корень — 8.

   Ответ: 8

5. Решение:
   

   Сравним числа:

   $$\sqrt{61} \approx 7.81$$
   $$\frac{17}{2} = 8.5 = \sqrt{72.25}$$
   $$3\sqrt{7} = \sqrt{9 \cdot 7} = \sqrt{63} \approx 7.94$$
   $$8 = \sqrt{64}$$
   $$2\sqrt{15} = \sqrt{4 \cdot 15} = \sqrt{60} \approx 7.75$$.

   Расположим подкоренные выражения: $$60, 61, 63, 64, 72.25$$.

   В порядке возрастания: $$2\sqrt{15}, \sqrt{61}, 3\sqrt{7}, 8, \frac{17}{2}$$.

   Ответ: $$2\sqrt{15}, \sqrt{61}, 3\sqrt{7}, 8, \frac{17}{2}$$

6. Решение:
   

   $$12x - 8 \ge 2|10x - 5| - 5$$
   $$12x - 8 + 5 \ge 2|10x - 5$$
   $$12x - 3 \ge 2|10x - 5|$$.

   Рассмотрим два случая:

   1) $$10x - 5 \ge 0 \implies 10x \ge 5 \implies x \ge 0.5$$.

   $$12x - 3 \ge 2(10x - 5)$$
   $$12x - 3 \ge 20x - 10$$
   $$10 - 3 \ge 20x - 12x$$
   $$7 \ge 8x$$
   $$x \le \frac{7}{8} = 0.875$$.
   Учитывая $$x \ge 0.5$$, получаем $$0.5 \le x \le 0.875$$.

   2) $$10x - 5 < 0 \implies x < 0.5$$.

   $$12x - 3 \ge -2(10x - 5)$$
   $$12x - 3 \ge -20x + 10$$
   $$12x + 20x \ge 10 + 3$$
   $$32x \ge 13$$
   $$x \ge \frac{13}{32} \approx 0.406$$.
   Учитывая $$x < 0.5$$, получаем $$\frac{13}{32} \le x < 0.5$$.

   Объединяя оба случая: $$\frac{13}{32} \le x \le \frac{7}{8}$$.

   Ответ: $$x \in [\frac{13}{32}; \frac{7}{8}]$$

7. Решение:
   

   Из первой системы $$5 \ge 2x \implies x \le 2.5$$.

   Из второй системы $$3x > 9 \implies x > 3$$.

   Система неравенств:

   $$\begin{cases} x \le 2.5 \\ x > 3 \end{cases}$$

   Нет решений, так как $$x$$ не может быть одновременно меньше или равен 2.5 и больше 3.

   Ответ: Решений нет

8. Решение:
   

   Пусть $$x$$ — собственная скорость лодки (км/ч).

   Скорость лодки против течения: $$(x - 1)$$ км/ч.

   Скорость лодки по течению: $$(x + 1)$$ км/ч.

   Время движения против течения: $$\frac{56}{x-1}$$ часов.

   Время движения по течению: $$\frac{32}{x+1}$$ часов.

   Общее время: $$\frac{56}{x-1} + \frac{32}{x+1} = 3$$.

   Ответ: $$\frac{56}{x-1} + \frac{32}{x+1} = 3$$