Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
11.20. Исследуйте на чётность функцию: a) y = √x + 1; б) у = \frac{x-2}{x²-1}; B) y = √x - 5; г) y = \frac{x+2}{x² - 16}
Ответ:
Привет! Давай вместе разберемся с исследованием функций на четность. Четность функции определяется тем, как она ведет себя при изменении знака аргумента. Функция y = f(x) называется четной, если f(-x) = f(x), и нечетной, если f(-x) = -f(x). Если ни одно из этих условий не выполняется, функция не является ни четной, ни нечетной.
a) y = √(x + 1)
1. Область определения:
\(x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1\). Область определения: [-1; +∞).
2. Проверка четности:
\(f(-x) = \sqrt{-x + 1}\). Видно, что \(f(-x)
eq f(x)\) и \(f(-x)
eq -f(x)\). 3. Вывод: Функция не является ни четной, ни нечетной, так как ее область определения несимметрична относительно нуля, и \(f(-x)\) не равно ни \(f(x)\), ни \(-f(x)\). б) y = (x - 2) / (x² - 1) 1. Область определения: \(x^2 - 1
eq 0 \implies x
eq \pm 1\). Область определения: (-∞; -1) ∪ (-1; 1) ∪ (1; +∞). 2. Проверка четности: \(f(-x) = \frac{-x - 2}{(-x)^2 - 1} = \frac{-(x + 2)}{x^2 - 1}\). Видно, что \(f(-x)
eq f(x)\) и \(f(-x)
eq -f(x)\). 3. Вывод: Функция не является ни четной, ни нечетной, так как \(f(-x)\) не равно ни \(f(x)\), ни \(-f(x)\). в) y = √(x - 5) 1. Область определения: \(x - 5 \ge 0 \implies x \ge 5\). Область определения: [5; +∞). 2. Проверка четности: \(f(-x) = \sqrt{-x - 5}\). Видно, что \(f(-x)
eq f(x)\) и \(f(-x)
eq -f(x)\). 3. Вывод: Функция не является ни четной, ни нечетной, так как ее область определения несимметрична относительно нуля, и \(f(-x)\) не равно ни \(f(x)\), ни \(-f(x)\). г) y = (x + 2) / (x² - 16) 1. Область определения: \(x^2 - 16
eq 0 \implies x
eq \pm 4\). Область определения: (-∞; -4) ∪ (-4; 4) ∪ (4; +∞). 2. Проверка четности: \(f(-x) = \frac{-x + 2}{(-x)^2 - 16} = \frac{-(x - 2)}{x^2 - 16}\). Видно, что \(f(-x)
eq f(x)\) и \(f(-x)
eq -f(x)\). 3. Вывод: Функция не является ни четной, ни нечетной, так как \(f(-x)\) не равно ни \(f(x)\), ни \(-f(x)\).
eq f(x)\) и \(f(-x)
eq -f(x)\). 3. Вывод: Функция не является ни четной, ни нечетной, так как ее область определения несимметрична относительно нуля, и \(f(-x)\) не равно ни \(f(x)\), ни \(-f(x)\). б) y = (x - 2) / (x² - 1) 1. Область определения: \(x^2 - 1
eq 0 \implies x
eq \pm 1\). Область определения: (-∞; -1) ∪ (-1; 1) ∪ (1; +∞). 2. Проверка четности: \(f(-x) = \frac{-x - 2}{(-x)^2 - 1} = \frac{-(x + 2)}{x^2 - 1}\). Видно, что \(f(-x)
eq f(x)\) и \(f(-x)
eq -f(x)\). 3. Вывод: Функция не является ни четной, ни нечетной, так как \(f(-x)\) не равно ни \(f(x)\), ни \(-f(x)\). в) y = √(x - 5) 1. Область определения: \(x - 5 \ge 0 \implies x \ge 5\). Область определения: [5; +∞). 2. Проверка четности: \(f(-x) = \sqrt{-x - 5}\). Видно, что \(f(-x)
eq f(x)\) и \(f(-x)
eq -f(x)\). 3. Вывод: Функция не является ни четной, ни нечетной, так как ее область определения несимметрична относительно нуля, и \(f(-x)\) не равно ни \(f(x)\), ни \(-f(x)\). г) y = (x + 2) / (x² - 16) 1. Область определения: \(x^2 - 16
eq 0 \implies x
eq \pm 4\). Область определения: (-∞; -4) ∪ (-4; 4) ∪ (4; +∞). 2. Проверка четности: \(f(-x) = \frac{-x + 2}{(-x)^2 - 16} = \frac{-(x - 2)}{x^2 - 16}\). Видно, что \(f(-x)
eq f(x)\) и \(f(-x)
eq -f(x)\). 3. Вывод: Функция не является ни четной, ни нечетной, так как \(f(-x)\) не равно ни \(f(x)\), ни \(-f(x)\).
Ответ: a) не является ни четной, ни нечетной; б) не является ни четной, ни нечетной; в) не является ни четной, ни нечетной; г) не является ни четной, ни нечетной.
Отлично, ты хорошо поработал! Не останавливайся на достигнутом, и у тебя все получится!