Исследуйте функцию y = -x^3 + 6x^2: найдите критические точки и определите характер экстремумов.

Решение:

Исследуем функцию \( y = -x^3 + 6x^2 \).

1. Найдем производную функции: \( y' = -3x^2 + 12x \).
2. Приравняем производную к нулю и найдем критические точки: \( -3x^2 + 12x = 0 \Rightarrow -3x(x - 4) = 0 \).
3. Критические точки: \( x = 0 \) и \( x = 4 \).
4. Определим знак производной на промежутках \( (-\infty; 0) \), \( (0; 4) \) и \( (4; +\infty) \).
• На \( (-\infty; 0) \), например, при \( x = -1 \), \( y' = -3(-1)^2 + 12(-1) = -3 - 12 = -15 < 0 \). Функция убывает.
• На \( (0; 4) \), например, при \( x = 1 \), \( y' = -3(1)^2 + 12(1) = -3 + 12 = 9 > 0 \). Функция возрастает.
• На \( (4; +\infty) \), например, при \( x = 5 \), \( y' = -3(5)^2 + 12(5) = -75 + 60 = -15 < 0 \). Функция убывает.
5. Вывод:
• При \( x = 0 \) происходит смена знака производной с минуса на плюс, значит, \( x = 0 \) — точка минимума.
• При \( x = 4 \) происходит смена знака производной с плюса на минус, значит, \( x = 4 \) — точка максимума.

Ответ: Критические точки: \( x = 0 \) (минимум), \( x = 4 \) (максимум).