Исследуйте функцию y = x^3 - 3x с помощью производной: найдите промежутки возрастания и убывания.

Решение:

Исследуем функцию \( y = x^3 - 3x \) с помощью производной.

1. Найдем производную: \( y' = 3x^2 - 3 \).
2. Приравняем производную к нулю: \( 3x^2 - 3 = 0 \).
3. Решим полученное уравнение: \( 3x^2 = 3 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \).
4. Определим знак производной на промежутках \( (-\infty; -1) \), \( (-1; 1) \) и \( (1; +\infty) \).
• На \( (-\infty; -1) \), например, при \( x = -2 \), \( y' = 3(-2)^2 - 3 = 12 - 3 = 9 > 0 \). Функция возрастает.
• На \( (-1; 1) \), например, при \( x = 0 \), \( y' = 3(0)^2 - 3 = -3 < 0 \). Функция убывает.
• На \( (1; +\infty) \), например, при \( x = 2 \), \( y' = 3(2)^2 - 3 = 12 - 3 = 9 > 0 \). Функция возрастает.

Ответ: Функция возрастает на \( (-\infty; -1) \) и \( (1; +\infty) \), убывает на \( (-1; 1) \).