Исследуйте функцию y = 2x2 + 6x + 4 и постройте её график.

Решение

Давай исследуем функцию y = 2x² + 6x + 4 и построим её график. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола.

1. Определим направление ветвей параболы:

   Так как коэффициент при x² (a = 2) положительный, ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем координаты вершины параболы:

   Координата x вершины параболы находится по формуле: x_v = -b / 2a, где a = 2 и b = 6.

   x_v = -6 / (2 * 2) = -6 / 4 = -1.5

   Теперь найдем координату y вершины параболы, подставив x_v в уравнение функции:

   y_v = 2*(-1.5)² + 6*(-1.5) + 4 = 2 * 2.25 - 9 + 4 = 4.5 - 9 + 4 = -0.5

   Таким образом, вершина параболы имеет координаты (-1.5, -0.5).

3. Найдем точки пересечения с осью x (нули функции):

   Чтобы найти точки пересечения с осью x, нужно решить уравнение 2x² + 6x + 4 = 0. Разделим обе части уравнения на 2: x² + 3x + 2 = 0.

   Используем дискриминант для решения квадратного уравнения: D = b² - 4ac = 3² - 4 * 1 * 2 = 9 - 8 = 1.

   Так как D > 0, уравнение имеет два корня:

   x₁ = (-b + √D) / 2a = (-3 + √1) / 2 = (-3 + 1) / 2 = -2 / 2 = -1

   x₂ = (-b - √D) / 2a = (-3 - √1) / 2 = (-3 - 1) / 2 = -4 / 2 = -2

   Точки пересечения с осью x: (-1, 0) и (-2, 0).

4. Найдем точку пересечения с осью y:

   Чтобы найти точку пересечения с осью y, подставим x = 0 в уравнение функции:

   y = 2*(0)² + 6*(0) + 4 = 4

   Точка пересечения с осью y: (0, 4).

5. Построим график функции:

   Используя координаты вершины (-1.5, -0.5), точки пересечения с осью x (-1, 0) и (-2, 0), и точку пересечения с осью y (0, 4), можно построить график параболы.

Ответ: Исследование функции выполнено, указаны ключевые точки для построения графика.

Ты отлично справился с заданием! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!