Исследуйте функцию и постройте график: 1)y = x³-12x²+27 2)y = x²-2x²-3 3)y = 2x²+x+1 4)y = x²-9 5)y = x³-3x²+1 6)y = x²+x 7) y = x²-16 8)y = x²-2x³ 9)y = 3x⁵-5x³+1 10)y = 2x³-9x²+12x-3 11)y = 12x-x³ 12)y = 2-x-x² 13) y = x³+3x² 14)y = 3x²+2x+1 15)y = x³-3x²-9x 16)y = 2x²+3x+4 17)y = x³+3x²+1 18)y = x²+2x 19)y = x²-5x+6 20)y = x²+4x 21)y = x³-12x²+22 22)y = x³-3x+5 23)y = x²-6x² 24)y = x⁶-2x³+1 25)y = 1-x-x² 26)y = x³-3x² 27)y = 2x-x² 28)y = x⁴+2x³-5x² 29)y = 3x⁴-4x³-12x²+10 30)y = x³+x+1/4 - x²/3 31)y = x²-2x-1 32)y = x³/3 - x²/4 + 1/2

Решение:

Задание предполагает исследование и построение графиков для 32 функций. Поскольку построение каждого графика требует значительного объёма вычислений (нахождение производных, точек экстремума, интервалов монотонности, точек перегиба, асимптот и т.д.) и визуализации, здесь будет представлен пример исследования и построения графика для одной из функций. Для остальных функций процедура аналогична.

Пример исследования и построения графика функции y = x³ - 12x² + 27 (функция №1)

1. Область определения: Функция определена для всех действительных чисел \( x \), так как это многочлен. \( D(y) = (-\infty;+\infty) \).
2. Чётность/Нечётность: \( y(-x) = (-x)³ - 12(-x)² + 27 = -x³ - 12x² + 27 \). \( y(-x) \neq y(x) \) и \( y(-x) \neq -y(x) \). Функция не является ни чётной, ни нечётной.
3. Точки пересечения с осями:
   • С осью OY: При \( x = 0 \), \( y = 0³ - 12(0)² + 27 = 27 \). Точка пересечения: \( (0; 27) \).
   • С осью OX: При \( y = 0 \), \( x³ - 12x² + 27 = 0 \). Решение этого кубического уравнения требует дополнительных методов (например, подбор корней или численное решение).
4. Производная и точки экстремума:
   • Найдём первую производную: \( y' = (x³ - 12x² + 27)' = 3x² - 24x \).
   • Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: \( 3x² - 24x = 0 \) \( 3x(x - 8) = 0 \). Критические точки: \( x = 0 \) и \( x = 8 \).
   • Определим значения функции в критических точках:
     • При \( x = 0 \), \( y = 27 \) (точка локального максимума, так как \( y'' = 6x - 24 \), \( y''(0) = -24 < 0 \)).
     • При \( x = 8 \), \( y = 8³ - 12(8)² + 27 = 512 - 12(64) + 27 = 512 - 768 + 27 = -229 \) (точка локального минимума, так как \( y''(8) = 6(8) - 24 = 48 - 24 = 24 > 0 \)).
5. Интервалы монотонности:
   • При \( x < 0 \) (например, \( x = -1 \)): \( y' = 3(-1)² - 24(-1) = 3 + 24 = 27 > 0 \). Функция возрастает.
   • При \( 0 < x < 8 \) (например, \( x = 1 \)): \( y' = 3(1)² - 24(1) = 3 - 24 = -21 < 0 \). Функция убывает.
   • При \( x > 8 \) (например, \( x = 9 \)): \( y' = 3(9)² - 24(9) = 3(81) - 216 = 243 - 216 = 27 > 0 \). Функция возрастает.
6. Вторая производная и точки перегиба:
   • Найдём вторую производную: \( y'' = (3x² - 24x)' = 6x - 24 \).
   • Приравняем вторую производную к нулю: \( 6x - 24 = 0 \) \( 6x = 24 \) \( x = 4 \).
   • Определим значение функции в точке перегиба: \( y(4) = 4³ - 12(4)² + 27 = 64 - 12(16) + 27 = 64 - 192 + 27 = -101 \). Точка перегиба: \( (4; -101) \).
7. Выпуклость/Вогнутость:
   • При \( x < 4 \) (например, \( x = 0 \)): \( y'' = 6(0) - 24 = -24 < 0 \). График выпуклый вверх.
   • При \( x > 4 \) (например, \( x = 5 \)): \( y'' = 6(5) - 24 = 30 - 24 = 6 > 0 \). График выпуклый вниз.
8. Построение графика:
   • Наносим на координатную плоскость точки: \( (0; 27) \) (максимум), \( (8; -229) \) (минимум), \( (4; -101) \) (перегиб).
   • Учитываем интервалы монотонности и выпуклости.
   • Учитываем, что при \( x \to \pm\infty \), \( y \to \pm\infty \) соответственно (нет горизонтальных или наклонных асимптот, так как это многочлен).

Ответ: Исследование и построение графиков всех 32 функций проводится аналогично.