Исследовать непрерывную функцию f(x) = (x - 1)(x + 3)(x - 5)

Решение:

Для исследования непрерывности функции \( f(x) = (x - 1)(x + 3)(x - 5) \) необходимо проанализировать её поведение на всей числовой прямой.

1. Область определения: Данная функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел \( x \in \mathbb{R} \).
2. Точки разрыва: Многочлены не имеют точек разрыва. Следовательно, данная функция непрерывна на всей числовой прямой \( \mathbb{R} \).
3. Корни функции: Корнями функции являются значения \( x \), при которых \( f(x) = 0 \). \( (x - 1)(x + 3)(x - 5) = 0 \) Следовательно, корни: \( x = 1 \), \( x = -3 \), \( x = 5 \).
4. Поведение на интервалах:
• Интервал \( (-\infty, -3) \): Возьмём пробную точку, например, \( x = -4 \). \( f(-4) = (-4 - 1)(-4 + 3)(-4 - 5) = (-5)(-1)(-9) = -45 \). На этом интервале функция отрицательна.
• Интервал \( (-3, 1) \): Возьмём пробную точку, например, \( x = 0 \). \( f(0) = (0 - 1)(0 + 3)(0 - 5) = (-1)(3)(-5) = 15 \). На этом интервале функция положительна.
• Интервал \( (1, 5) \): Возьмём пробную точку, например, \( x = 2 \). \( f(2) = (2 - 1)(2 + 3)(2 - 5) = (1)(5)(-3) = -15 \). На этом интервале функция отрицательна.
• Интервал \( (5, \infty) \): Возьмём пробную точку, например, \( x = 6 \). \( f(6) = (6 - 1)(6 + 3)(6 - 5) = (5)(9)(1) = 45 \). На этом интервале функция положительна.

Вывод: Функция \( f(x) = (x - 1)(x + 3)(x - 5) \) является непрерывной на всей числовой прямой \( \mathbb{R} \).