2. Используйте метод сложения/вычитания 1. { 2x - 3y = 14 3x + 2y = 8 2. { 5x + y = 7 (y y-8x = -6 3. { 4x - y = -19 3y - 4x = 33 4. { 5y + 2 = 3x 3x - y = -2 5. { 7x-3=5y 2y-14x=-46 6. 10. { x² - y² = 7 x² + y² = 25 2y² = x² + 17 x²-7y2 = -62 x² - 2y = 13 x² + y² + 2y = 9 (5x-1)² = 2y (3+x)² = 2y (x-2y)² = 8x (2y-x)² = -16y 8. 6

Привет! Давай решим эти системы уравнений методом сложения/вычитания. Это отличный способ научиться решать сложные задачи. Будем разбирать каждую систему по порядку.

1. Система уравнений:

\[\begin{cases} 2x - 3y = 14 \\ 3x + 2y = 8 \end{cases}\]

Умножим первое уравнение на 2, а второе на 3, чтобы уравнять коэффициенты при y:

\[\begin{cases} 4x - 6y = 28 \\ 9x + 6y = 24 \end{cases}\]

Сложим два уравнения:

\[(4x - 6y) + (9x + 6y) = 28 + 24\] \[13x = 52\] \[x = \frac{52}{13} = 4\]

Подставим значение x в первое уравнение исходной системы:

\[2(4) - 3y = 14\] \[8 - 3y = 14\] \[-3y = 6\] \[y = -2\]

Ответ: x = 4, y = -2

2. Система уравнений:

\[\begin{cases} 5x + y = 7 \\ y - 8x = -6 \end{cases}\]

Выразим y из первого уравнения: y = 7 - 5x Подставим это выражение во второе уравнение:

\[(7 - 5x) - 8x = -6\] \[7 - 13x = -6\] \[-13x = -13\] \[x = 1\]

Теперь найдем y:

\[y = 7 - 5(1) = 7 - 5 = 2\]

Ответ: x = 1, y = 2

3. Система уравнений:

\[\begin{cases} 4x - y = -19 \\ 3y - 4x = 33 \end{cases}\]

Сложим два уравнения:

\[(4x - y) + (3y - 4x) = -19 + 33\] \[2y = 14\] \[y = 7\]

Подставим значение y в первое уравнение:

\[4x - 7 = -19\] \[4x = -12\] \[x = -3\]

Ответ: x = -3, y = 7

4. Система уравнений:

\[\begin{cases} 5y + 2 = 3x \\ 3x - y = -2 \end{cases}\]

Выразим 3x из первого уравнения: 3x = 5y + 2 Подставим это выражение во второе уравнение:

\[(5y + 2) - y = -2\] \[4y + 2 = -2\] \[4y = -4\] \[y = -1\]

Теперь найдем x:

\[3x = 5(-1) + 2 = -5 + 2 = -3\] \[x = -1\]

Ответ: x = -1, y = -1

5. Система уравнений:

\[\begin{cases} 7x - 3 = 5y \\ 2y - 14x = -46 \end{cases}\]

Выразим 5y из первого уравнения: 5y = 7x - 3 Умножим второе уравнение на 2.5, чтобы получить 5y:

\[5y - 35x = -115\]

Подставим выражение для 5y из первого уравнения:

\[7x - 3 - 35x = -115\] \[-28x = -112\] \[x = 4\]

Теперь найдем y:

\[5y = 7(4) - 3 = 28 - 3 = 25\] \[y = 5\]

Ответ: x = 4, y = 5

6. Система уравнений:

\[\begin{cases} x^2 - y^2 = 7 \\ x^2 + y^2 = 25 \end{cases}\]

Сложим два уравнения:

\[(x^2 - y^2) + (x^2 + y^2) = 7 + 25\] \[2x^2 = 32\] \[x^2 = 16\] \[x = \pm 4\]

Теперь найдем y:

\[16 + y^2 = 25\] \[y^2 = 9\] \[y = \pm 3\]

Ответ: x = ±4, y = ±3

7. Система уравнений:

\[\begin{cases} 2y^2 = x^2 + 17 \\ x^2 - 7y^2 = -62 \end{cases}\]

Умножим первое уравнение на -1 и сложим со вторым уравнением:

\[(x^2 - 7y^2) - (2y^2 - x^2) = -62 - 1(-x^2 - 17)\] \[x^2 - 7y^2 -2y^2 + x^2 = -62 +17\] \[2x^2 -9y^2 = -45\]

Выразим x^2 из первого уравнения: x^2 = 2y^2 - 17 Подставим во второе уравнение:

\[2(2y^2 - 17) -9y^2 = -45\] \[4y^2 - 34 - 9y^2 = -45\] \[-5y^2 = -11\] \[y^2 = \frac{11}{5}\] \[y = \pm \sqrt{\frac{11}{5}}\]

Найдем x:

\[x^2 = 2(\frac{11}{5}) - 17\] \[x^2 = \frac{22}{5} - \frac{85}{5}\] \[x^2 = \frac{-63}{5}\]

Так как x^2 не может быть отрицательным, эта система не имеет реальных решений.

Ответ: Решений нет

8. Система уравнений:

\[\begin{cases} x^2 - 2y = 13 \\ x^2 + y^2 + 2y = 9 \end{cases}\]

Вычтем первое уравнение из второго:

\[(x^2 + y^2 + 2y) - (x^2 - 2y) = 9 - 13\] \[y^2 + 4y = -4\] \[y^2 + 4y + 4 = 0\] \[(y + 2)^2 = 0\] \[y = -2\]

Подставим значение y в первое уравнение:

\[x^2 - 2(-2) = 13\] \[x^2 + 4 = 13\] \[x^2 = 9\] \[x = \pm 3\]

Ответ: x = ±3, y = -2

9. Система уравнений:

\[\begin{cases} (5x - 1)^2 = 2y \\ (3 + x)^2 = 2y \end{cases}\]

Приравняем оба уравнения, так как правые части равны:

\[(5x - 1)^2 = (3 + x)^2\] \[25x^2 - 10x + 1 = x^2 + 6x + 9\] \[24x^2 - 16x - 8 = 0\] \[3x^2 - 2x - 1 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

\[D = (-2)^2 - 4(3)(-1) = 4 + 12 = 16\] \[x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2(3)} = \frac{2 \pm 4}{6}\] \[x_1 = \frac{2 + 4}{6} = 1, \quad x_2 = \frac{2 - 4}{6} = -\frac{1}{3}\]

Найдем y для каждого x:

\[y_1 = \frac{(3 + 1)^2}{2} = \frac{16}{2} = 8\] \[y_2 = \frac{(3 - \frac{1}{3})^2}{2} = \frac{(\frac{8}{3})^2}{2} = \frac{64}{9} \cdot \frac{1}{2} = \frac{32}{9}\]

Ответ: x = 1, y = 8; x = -1/3, y = 32/9

10. Система уравнений:

\[\begin{cases} (x - 2y)^2 = 8x \\ (2y - x)^2 = -16y \end{cases}\]

Заметим, что (x - 2y)^2 = (2y - x)^2, следовательно:

\[8x = -16y\] \[x = -2y\]

Подставим x = -2y в первое уравнение:

\[(-2y - 2y)^2 = 8(-2y)\] \[(-4y)^2 = -16y\] \[16y^2 = -16y\] \[16y^2 + 16y = 0\] \[16y(y + 1) = 0\] \[y = 0 \quad \text{или} \quad y = -1\]

Найдем x для каждого y:

\[x = -2(0) = 0\] \[x = -2(-1) = 2\]

Ответ: x = 0, y = 0; x = 2, y = -1