3. Используя свойства степеней, найдите значение выра- жения: 1) а) 37 (32)8:310; 6) 520: (52)5:58; 2) a) 94 87 6) 46 85; B) 272.94 812 3) a) 26.56 1012 6) 1514 516.316 ; B) 35.45 126

3. Используя свойства степеней, найдите значение выражения:

1) а) \(3^7 \cdot (3^2)^8 : 3^{10}\)

Давай разберем по порядку. Сначала упростим выражение, используя свойства степеней:

• Когда возводим степень в степень, показатели перемножаются: \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\). Значит, \((3^2)^8 = 3^{2 \cdot 8} = 3^{16}\).
• Теперь у нас выражение: \(3^7 \cdot 3^{16} : 3^{10}\).
• Когда умножаем степени с одинаковым основанием, показатели складываются: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\). Значит, \(3^7 \cdot 3^{16} = 3^{7+16} = 3^{23}\).
• Теперь у нас выражение: \(3^{23} : 3^{10}\).
• Когда делим степени с одинаковым основанием, показатели вычитаются: \(a^m : a^n = a^{m-n}\). Значит, \(3^{23} : 3^{10} = 3^{23-10} = 3^{13}\).

Ответ: \(3^{13}\)

6) \(5^{20} : (5^2)^5 : 5^8\)

Давай разберем по порядку. Сначала упростим выражение, используя свойства степеней:

• Когда возводим степень в степень, показатели перемножаются: \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\). Значит, \((5^2)^5 = 5^{2 \cdot 5} = 5^{10}\).
• Теперь у нас выражение: \(5^{20} : 5^{10} : 5^8\).
• Когда делим степени с одинаковым основанием, показатели вычитаются: \(a^m : a^n = a^{m-n}\). Значит, \(5^{20} : 5^{10} = 5^{20-10} = 5^{10}\).
• Теперь у нас выражение: \(5^{10} : 5^8\).
• Снова делим степени с одинаковым основанием, показатели вычитаются: \(5^{10} : 5^8 = 5^{10-8} = 5^2 = 25\).

Ответ: \(25\)

2) а) \(\frac{9^4}{3^7}\)

Сначала преобразуем \(9^4\) в \((3^2)^4\), чтобы у нас было одинаковое основание. Далее, \((3^2)^4 = 3^{2 \cdot 4} = 3^8\). Теперь выражение выглядит так: \(\frac{3^8}{3^7}\). При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: \(\frac{3^8}{3^7} = 3^{8-7} = 3^1 = 3\).

Ответ: \(3\)

6) \(\frac{8^5}{4^6}\)

Сначала преобразуем \(8^5\) в \((2^3)^5\) и \(4^6\) в \((2^2)^6\), чтобы у нас было одинаковое основание. Далее, \((2^3)^5 = 2^{3 \cdot 5} = 2^{15}\) и \((2^2)^6 = 2^{2 \cdot 6} = 2^{12}\). Теперь выражение выглядит так: \(\frac{2^{15}}{2^{12}}\). При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: \(\frac{2^{15}}{2^{12}} = 2^{15-12} = 2^3 = 8\).

Ответ: \(8\)

B) \(\frac{27^2 \cdot 9^4}{81^2}\)

Сначала преобразуем \(27^2\) в \((3^3)^2\), \(9^4\) в \((3^2)^4\) и \(81^2\) в \((3^4)^2\), чтобы у нас было одинаковое основание. Далее, \((3^3)^2 = 3^{3 \cdot 2} = 3^6\), \((3^2)^4 = 3^{2 \cdot 4} = 3^8\) и \((3^4)^2 = 3^{4 \cdot 2} = 3^8\). Теперь выражение выглядит так: \(\frac{3^6 \cdot 3^8}{3^8}\). При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: \(3^6 \cdot 3^8 = 3^{6+8} = 3^{14}\). Теперь выражение выглядит так: \(\frac{3^{14}}{3^8}\). При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: \(\frac{3^{14}}{3^8} = 3^{14-8} = 3^6 = 729\).

Ответ: \(729\)

3) а) \(\frac{10^{12}}{2^6 \cdot 5^6}\)

Давай разберем по порядку. Сначала преобразуем знаменатель, используя свойство степеней:

• Когда у нас одинаковые показатели, можно перемножить основания: \(a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n\). Значит, \(2^6 \cdot 5^6 = (2 \cdot 5)^6 = 10^6\).
• Теперь у нас выражение: \(\frac{10^{12}}{10^6}\).
• Когда делим степени с одинаковым основанием, показатели вычитаются: \(a^m : a^n = a^{m-n}\). Значит, \(\frac{10^{12}}{10^6} = 10^{12-6} = 10^6 = 1000000\).

Ответ: \(1000000\)

6) \(\frac{5^{16} \cdot 3^{16}}{15^{14}}\)

Преобразуем числитель, используя свойство степеней: \(a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n\). Значит, \(5^{16} \cdot 3^{16} = (5 \cdot 3)^{16} = 15^{16}\). Теперь выражение выглядит так: \(\frac{15^{16}}{15^{14}}\. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: \(\frac{15^{16}}{15^{14}} = 15^{16-14} = 15^2 = 225\)

Ответ: \(225\)

B) \(\frac{12^6}{3^5 \cdot 4^5}\)

Сначала преобразуем знаменатель, используя свойство степеней:

• Когда у нас одинаковые показатели, можно перемножить основания: \(a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n\). Значит, \(3^5 \cdot 4^5 = (3 \cdot 4)^5 = 12^5\).
• Теперь у нас выражение: \(\frac{12^6}{12^5}\).
• Когда делим степени с одинаковым основанием, показатели вычитаются: \(a^m : a^n = a^{m-n}\). Значит, \(\frac{12^6}{12^5} = 12^{6-5} = 12^1 = 12\).

Ответ: \(12\)

Отлично! Ты хорошо справляешься с применением свойств степеней. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!