Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Используя эти равенства, докажите:
Ответ:
Краткое пояснение: Для доказательства данного равенства мы будем использовать выявленную закономерность из предыдущих примеров, где произведение двух дробей \( \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n+2} \) равно половине разности этих дробей \( \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}) \).
Пошаговое решение:
- Разложим каждое слагаемое в левой части равенства, используя найденную закономерность:
\( \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{2} (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) \)
\( \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{7} = \frac{1}{2} (\frac{1}{5} - \frac{1}{7}) \)
\( \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{2} (\frac{1}{7} - \frac{1}{9}) \)
\( \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{11} = \frac{1}{2} (\frac{1}{9} - \frac{1}{11}) \)
\( \frac{1}{11} \cdot \frac{1}{13} = \frac{1}{2} (\frac{1}{11} - \frac{1}{13}) \)
\( \frac{1}{13} \cdot \frac{1}{15} = \frac{1}{2} (\frac{1}{13} - \frac{1}{15}) \) - Подставим полученные выражения в левую часть исходного равенства:
\( \frac{1}{2} (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + \frac{1}{2} (\frac{1}{5} - \frac{1}{7}) + \frac{1}{2} (\frac{1}{7} - \frac{1}{9}) + \frac{1}{2} (\frac{1}{9} - \frac{1}{11}) + \frac{1}{2} (\frac{1}{11} - \frac{1}{13}) + \frac{1}{2} (\frac{1}{13} - \frac{1}{15}) \) - Вынесем общий множитель \( \frac{1}{2} \) за скобки:
\( \frac{1}{2} [ (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{7}) + (\frac{1}{7} - \frac{1}{9}) + (\frac{1}{9} - \frac{1}{11}) + (\frac{1}{11} - \frac{1}{13}) + (\frac{1}{13} - \frac{1}{15}) ] \) - Раскроем скобки и применим свойство раскрытия скобок, где отрицательные и положительные члены с одинаковыми знаменателями взаимно уничтожаются (телескопическая сумма):
\( \frac{1}{2} [ \frac{1}{3} - \cancel{\frac{1}{5}} + \cancel{\frac{1}{5}} - \cancel{\frac{1}{7}} + \cancel{\frac{1}{7}} - \cancel{\frac{1}{9}} + \cancel{\frac{1}{9}} - \cancel{\frac{1}{11}} + \cancel{\frac{1}{11}} - \cancel{\frac{1}{13}} + \cancel{\frac{1}{13}} - \frac{1}{15} ] \)
Остается: \( \frac{1}{2} [ \frac{1}{3} - \frac{1}{15} ] \) - Вычислим выражение в скобках:
\( \frac{1}{3} - \frac{1}{15} = \frac{5}{15} - \frac{1}{15} = \frac{4}{15} \) - Умножим полученный результат на \( \frac{1}{2} \):
\( \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{15} = \frac{4}{30} = \frac{2}{15} \)
Ответ: \( \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{9} + \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{11} + \frac{1}{11} \cdot \frac{1}{13} + \frac{1}{13} \cdot \frac{1}{15} = \frac{2}{15} \)
Похожие
