1. Используя данные, указанные на рисунке, найдите площадь треугольника АВС.

Для нахождения площади треугольника АВС необходимо найти высоту, проведенную к стороне АС.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВН, где угол А = 30°, АН = 6.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Тогда гипотенуза АВ равна:

АВ = 2 × ВН.

Найдем высоту ВН.

$$\sin A = \frac{BH}{AB}$$

$$\sin 30° = \frac{BH}{AB}$$

$$\frac{1}{2} = \frac{BH}{AB}$$

AB = 2 × BH

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВН. По теореме Пифагора:

$$AB^2 = AH^2 + BH^2$$

$$(2BH)^2 = 6^2 + BH^2$$

$$4BH^2 = 36 + BH^2$$

$$3BH^2 = 36$$

$$BH^2 = 12$$

$$BH = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$$

Найдем площадь треугольника АВС:

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH$$

АС = АН + НС = 6 + 3 = 9

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 2\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$$

Ответ: $$9\sqrt{3}$$