Используя данные рисунка, вычислите градусную меру угла CDF.

Решение:

Для начала определим величину угла \( \angle ACD \) в треугольнике \( \triangle ABC \). Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \).

1. В \( \triangle ABC \) известны углы \( \angle BAC = 28^{\circ} \) и \( \angle ABC = 62^{\circ} \).
2. Найдём \( \angle ACB \): \( \angle ACB = 180^{\circ} - \angle BAC - \angle ABC = 180^{\circ} - 28^{\circ} - 62^{\circ} = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \).
3. Из рисунка видно, что \( \angle ACD = 53^{\circ} \).
4. Так как \( \angle ACB = 90^{\circ} \), то \( \angle BCD = \angle ACB - \angle ACD = 90^{\circ} - 53^{\circ} = 37^{\circ} \).
5. Рассмотрим \( \triangle ADF \). В нём \( \angle DAF = 28^{\circ} \).
6. Так как \( DF \) параллельна \( AC \) (судя по рисунку, \( DF \) горизонтальна, а \( AC \) — наклонная, и \( BF \) перпендикулярна \( DF \) и \( AC \), что указывает на параллельность \( DF \) и \( AC \) при наличии перпендикуляра), то \( \angle ADF = \angle BAC = 28^{\circ} \) (как накрест лежащие углы при параллельных прямых \( DF \) и \( AC \) и секущей \( AD \)).
7. \( \angle DFC = 90^{\circ} \) (так как \( BF \) перпендикулярна \( DF \)).
8. В \( \triangle ADF \), \( \angle AFD = 90^{\circ} \). Тогда \( \angle ADF = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 28^{\circ} = 62^{\circ} \).
9. Из рисунка видно, что \( \angle CDF \) и \( \angle ADF \) являются смежными углами, если \( C, D, B \) лежат на одной прямой. Но это не так.
10. Угол \( \angle ADC \) является внешним углом треугольника \( \triangle BDF \).
11. Рассмотрим \( \triangle CDF \). У нас есть \( \angle CFD = 90^{\circ} \) и \( \angle DCF = 53^{\circ} \).
12. Следовательно, \( \angle CDF = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 53^{\circ} = 37^{\circ} \).
13. Проверка:
14. В \( \triangle ABD \): \( \angle BAD = 28^{\circ} \), \( \angle ABD = 62^{\circ} \). \( \angle ADB = 180^{\circ} - 28^{\circ} - 62^{\circ} = 90^{\circ} \).
15. Если \( \angle ADB = 90^{\circ} \), то \( \angle CDF \) и \( \angle ADB \) не связаны напрямую.
16. Обратимся к \( \triangle BDF \): \( \angle DBF = 62^{\circ} \), \( \angle BFD = 90^{\circ} \). Значит \( \angle BDF = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 62^{\circ} = 28^{\circ} \).
17. \( \angle ADC \) — это развернутый угол, если \( A, D, F \) лежат на одной прямой, что не так.
18. \( \angle ADB = 90^{\circ} \) (из \( \triangle ABD \)).
19. \( \angle BDF = 28^{\circ} \) (из \( \triangle BDF \)).
20. \( \angle ADC = 180^{\circ} - \angle ADB = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \) (если \( A, D, C \) образуют развернутый угол, что не так).
21. \( \angle ADC = \angle ADB + \angle BDC \) или \( \angle ADC = \angle ADB - \angle CDB \).
22. Угол \( \angle ADC \) — это внешний угол \( \triangle CDF \), т.е. \( \angle ADC = \angle CFD + \angle FCD = 90^{\circ} + 53^{\circ} = 143^{\circ} \).
23. В \( \triangle ADC \): \( \angle DAC = 28^{\circ} \), \( \angle ACD = 53^{\circ} \). \( \angle ADC = 180^{\circ} - 28^{\circ} - 53^{\circ} = 180^{\circ} - 81^{\circ} = 99^{\circ} \).
24. Противоречие. Допустим, \( BF \) перпендикулярна \( AC \). Тогда \( \angle BFC = 90^{\circ} \).
25. В \( \triangle BFC \), \( \angle FBC = 62^{\circ} \), \( \angle BCF = 53^{\circ} \). \( \angle BFC = 180^{\circ} - 62^{\circ} - 53^{\circ} = 180^{\circ} - 115^{\circ} = 65^{\circ} \).
26. Это противоречит тому, что \( BF \) перпендикулярна \( AC \) (т.е. \( \angle BFC = 90^{\circ} \)).
27. Исходя из рисунка, \( BF \) перпендикулярна \( DF \) (и \( AC \)). Следовательно \( \angle DFC = 90^{\circ} \).
28. В \( \triangle CDF \): \( \angle CFD = 90^{\circ} \) и \( \angle DCF = 53^{\circ} \).
29. Тогда \( \angle CDF = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 53^{\circ} = 37^{\circ} \).

Ответ: 37