Исполнитель ГОСТ преобразует число на экране. У исполнителя ГОСТ есть три команды, которым присвоены номера: 1. Прибавить 1 2. Прибавить 2 3. Прибавить 3 Программа для исполнителя ГОСТ – это последовательность команд. Сколько существует программ, состоящих из 7 команд, для которых при исходном числе 3 результатом является число 22?

Для решения задачи необходимо определить, сколько раз нужно выполнить каждую из команд, чтобы из числа 3 получить число 22 за 7 команд. То есть необходимо найти количество решений уравнения:

$$x + 2y + 3z = 22 - 3 = 19$$,

где $$x$$ - количество выполнений команды "Прибавить 1", $$y$$ - количество выполнений команды "Прибавить 2", $$z$$ - количество выполнений команды "Прибавить 3", при условии, что $$x + y + z = 7$$.

Решим систему уравнений:

$$\begin{cases} x + 2y + 3z = 19 \\ x + y + z = 7 \end{cases}$$

Выразим x из второго уравнения: $$x = 7 - y - z$$.

Подставим в первое уравнение:

$$7 - y - z + 2y + 3z = 19$$

$$y + 2z = 12$$

Выразим y: $$y = 12 - 2z$$.

Так как x, y, z - целые неотрицательные числа, то нужно найти все возможные значения z, при которых y неотрицательно и $$y \le 7$$.

1. Если $$z = 0$$, то $$y = 12$$, что не подходит, так как $$y \le 7$$.

2. Если $$z = 1$$, то $$y = 12 - 2 \cdot 1 = 10$$, что не подходит, так как $$y \le 7$$.

3. Если $$z = 2$$, то $$y = 12 - 2 \cdot 2 = 8$$, что не подходит, так как $$y \le 7$$.

4. Если $$z = 3$$, то $$y = 12 - 2 \cdot 3 = 6$$. Тогда $$x = 7 - 6 - 3 = -2$$, что не подходит, так как $$x \ge 0$$.

5. Если $$z = 4$$, то $$y = 12 - 2 \cdot 4 = 4$$. Тогда $$x = 7 - 4 - 4 = -1$$, что не подходит, так как $$x \ge 0$$.

6. Если $$z = 5$$, то $$y = 12 - 2 \cdot 5 = 2$$. Тогда $$x = 7 - 2 - 5 = 0$$. Этот вариант подходит: x = 0, y = 2, z = 5.

7. Если $$z = 6$$, то $$y = 12 - 2 \cdot 6 = 0$$. Тогда $$x = 7 - 0 - 6 = 1$$. Этот вариант подходит: x = 1, y = 0, z = 6.

Теперь нужно вычислить количество возможных комбинаций для каждого варианта.

1. x = 0, y = 2, z = 5. Всего 7 команд, из них 0 раз команда 1, 2 раза команда 2, 5 раз команда 3. Количество вариантов:

$$\frac{7!}{0! \cdot 2! \cdot 5!} = \frac{7 \cdot 6}{2} = 21$$

2. x = 1, y = 0, z = 6. Всего 7 команд, из них 1 раз команда 1, 0 раз команда 2, 6 раз команда 3. Количество вариантов:

$$\frac{7!}{1! \cdot 0! \cdot 6!} = 7$$

Общее количество программ: 21 + 7 = 28.

Ответ: 28