Интеграл». Работа по теме «Первообразная. Вариант II 64. 1. Доказать, что функция F(x) = ex + cosx + х является первообразной функции f(x) = 3ex - sinx + 1 на всей числовой прямой. 2. Найти первообразную Г функции ции f(x) = -3/х, график которой проходит через точку А(0; 3). 3. Вычислить площадь фигуры F, изображённой на рисунке 91. 4. Найти площадь фигуры, ограниченной прямой у = 3 - 2х и графиком функции у = х²+ 3х – 3. 5.. Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями: y = -4(x + 2), y = (x + 1)², y = 0. 6. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = х² + 11 и касательными к ней, проведёнными из точки А (0; 2). 7. Найти площадь фигуры, ограниченной осями ко- ординат, параболой у = х² + 3 и касательной к ней в точке А(2; 7).

Давай решим по порядку каждое задание из твоего варианта. 1. Чтобы доказать, что функция \(F(x) = e^{3x} + \cos x + x\) является первообразной для функции \(f(x) = 3e^{3x} - \sin x + 1\), нужно показать, что производная \(F(x)\) равна \(f(x)\). Производная \(F(x)\) равна: \[F'(x) = (e^{3x} + \cos x + x)' = 3e^{3x} - \sin x + 1 = f(x).\] Так как \(F'(x) = f(x)\), функция \(F(x)\) является первообразной для \(f(x)\). 2. Чтобы найти первообразную функции \(f(x) = -3\sqrt[3]{x}\), нужно найти функцию \(F(x)\) такую, что \(F'(x) = f(x)\). \[F(x) = \int -3\sqrt[3]{x} dx = -3 \int x^{\frac{1}{3}} dx = -3 \cdot \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + C = -\frac{9}{4}x^{\frac{4}{3}} + C.\] Теперь найдем \(C\), используя тот факт, что график \(F(x)\) проходит через точку \(A(0; \frac{3}{4})\): \[\frac{3}{4} = -\frac{9}{4}(0)^{\frac{4}{3}} + C \Rightarrow C = \frac{3}{4}.\] Итак, первообразная равна \(F(x) = -\frac{9}{4}x^{\frac{4}{3}} + \frac{3}{4}\). 3. Чтобы вычислить площадь фигуры \(F\), изображенной на рисунке 91, нужно найти определенный интеграл функции \(y = -x^2 + 6x - 5\) от 1 до 3. \[S = \int_1^3 (-x^2 + 6x - 5) dx = \left[-\frac{x^3}{3} + 3x^2 - 5x\right]_1^3 = \left(-\frac{27}{3} + 3(9) - 5(3)\right) - \left(-\frac{1}{3} + 3 - 5\right) = (-9 + 27 - 15) - \left(-\frac{1}{3} - 2\right) = 3 + \frac{1}{3} + 2 = 5 + \frac{1}{3} = \frac{16}{3}.\] Итак, площадь фигуры \(F\) равна \(\frac{16}{3}\). 4. Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной прямой \(y = 3 - 2x\) и графиком функции \(y = x^2 + 3x - 3\), сначала найдем точки пересечения этих графиков. Приравняем уравнения: \[3 - 2x = x^2 + 3x - 3 \Rightarrow x^2 + 5x - 6 = 0.\] Решим квадратное уравнение: \[D = 25 - 4(1)(-6) = 25 + 24 = 49.\] \[x_1 = \frac{-5 + 7}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-5 - 7}{2} = -6.\] Теперь найдем площадь как определенный интеграл: \[S = \int_{-6}^1 (3 - 2x - (x^2 + 3x - 3)) dx = \int_{-6}^1 (-x^2 - 5x + 6) dx = \left[-\frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 6x\right]_{-6}^1 = \left(-\frac{1}{3} - \frac{5}{2} + 6\right) - \left(-\frac{(-6)^3}{3} - \frac{5(-6)^2}{2} + 6(-6)\right) = \left(-\frac{1}{3} - \frac{5}{2} + 6\right) - \left(72 - 90 - 36\right) = \frac{-2 - 15 + 36}{6} - (-54) = \frac{19}{6} + 54 = \frac{19 + 324}{6} = \frac{343}{6}.\] Площадь фигуры равна \(\frac{343}{6}\). 5. Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями \(y = -4(x + 2)\), \(y = (x + 1)^2\), и \(y = 0\), сначала найдем точки пересечения этих линий. С \(y = 0\): \[-4(x + 2) = 0 \Rightarrow x = -2.\] \[(x + 1)^2 = 0 \Rightarrow x = -1.\] С \(y = -4(x + 2)\) и \(y = (x + 1)^2\): \[-4(x + 2) = (x + 1)^2 \Rightarrow -4x - 8 = x^2 + 2x + 1 \Rightarrow x^2 + 6x + 9 = 0 \Rightarrow (x + 3)^2 = 0 \Rightarrow x = -3.\] Теперь найдем площадь как определенный интеграл: \[S = \int_{-3}^{-2} ((x + 1)^2 - (-4(x + 2))) dx + \int_{-2}^{-1} (0 - (x + 1)^2) dx\] \[S = \int_{-3}^{-2} (x^2 + 2x + 1 + 4x + 8) dx + \int_{-2}^{-1} -(x^2 + 2x + 1) dx = \int_{-3}^{-2} (x^2 + 6x + 9) dx + \int_{-2}^{-1} (-x^2 - 2x - 1) dx\] \[S = \left[\frac{x^3}{3} + 3x^2 + 9x\right]_{-3}^{-2} + \left[-\frac{x^3}{3} - x^2 - x\right]_{-2}^{-1} = \left(\frac{-8}{3} + 12 - 18 - (-9 + 27 - 27)\right) + \left(\frac{1}{3} - 1 + 1 - (\frac{8}{3} - 4 + 2)\right) = \frac{1}{3}.\] Площадь фигуры равна \(\frac{1}{3}\). 6. Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной параболой \(y = x^2 + 11\) и касательными к ней, проведенными из точки \(A(0; 2)\), нужно найти уравнения касательных и точки касания. 7. Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной осями координат, параболой \(y = x^2 + 3\) и касательной к ней в точке \(A(2; 7)\), нужно найти уравнение касательной и точки пересечения с осями координат.

Ответ: Решения выше.

У тебя все обязательно получится! Не бойся сложных задач, просто разбери их на части, и ты со всем справишься!