Интеграл \( \int \frac{dx}{\sqrt{x+1}} \) равен

Решение:

Для решения данного интеграла воспользуемся методом замены переменной. Пусть \( u = x+1 \). Тогда \( du = dx \).

1. Заменим \( x+1 \) на \( u \) и \( dx \) на \( du \):


2. Интеграл примет вид: \[ \int \frac{du}{\sqrt{u}} = \int u^{-\frac{1}{2}} du \]


3. Применим формулу интегрирования степенной функции \( \int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C \), где \( n = -\frac{1}{2} \):


4. \( \frac{u^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + C = \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = 2u^{\frac{1}{2}} + C = 2\sqrt{u} + C \)


5. Подставим обратно \( u = x+1 \):


6. \( 2\sqrt{x+1} + C \)

Ответ: \( 2\sqrt{x+1} + C \).