Интеграл $$\int e^{x} \cdot sin(x+1) dx$$ равен

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Применим метод интегрирования по частям.

Пусть \[ u = \sin(x+1), \quad dv = e^x dx \]

Тогда \[ du = \cos(x+1) dx, \quad v = e^x \]

Применяем формулу интегрирования по частям: \[ \int u dv = uv - \int v du \]

Получаем: \[ \int e^x \sin(x+1) dx = e^x \sin(x+1) - \int e^x \cos(x+1) dx \]

• Шаг 2: Снова интегрируем по частям.

Теперь рассмотрим интеграл \[ \int e^x \cos(x+1) dx \]

Пусть \[ u = \cos(x+1), \quad dv = e^x dx \]

Тогда \[ du = -\sin(x+1) dx, \quad v = e^x \]

Применяем формулу интегрирования по частям: \[ \int u dv = uv - \int v du \]

Получаем: \[ \int e^x \cos(x+1) dx = e^x \cos(x+1) - \int e^x(-\sin(x+1)) dx = e^x \cos(x+1) + \int e^x \sin(x+1) dx \]

• Шаг 3: Подставляем результат обратно в первое уравнение.

Имеем: \[ \int e^x \sin(x+1) dx = e^x \sin(x+1) - \left(e^x \cos(x+1) + \int e^x \sin(x+1) dx\right) \]

Раскрываем скобки: \[ \int e^x \sin(x+1) dx = e^x \sin(x+1) - e^x \cos(x+1) - \int e^x \sin(x+1) dx \]

• Шаг 4: Решаем уравнение относительно интеграла.

Переносим интеграл в левую часть: \[ 2 \int e^x \sin(x+1) dx = e^x \sin(x+1) - e^x \cos(x+1) \]

Делим обе части на 2: \[ \int e^x \sin(x+1) dx = \frac{1}{2} \left(e^x \sin(x+1) - e^x \cos(x+1)\right) + C \]

Таким образом, правильный ответ: \[ \frac{1}{2}e^x(\sin(x+1) - \cos(x+1)) + C\]

Это можно представить, как: \[ \frac{1}{2}e^x \sin(x+1) - \frac{1}{2}e^x \cos(x+1) + C \]