In the second diagram, two tangents are drawn to a circle from an external point. The angle between the tangents is 37°. An arc is marked with angle x. Find the value of x.

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами касательных, проведенных из одной точки к окружности, и угловыми величинами дуг.

1. Пусть внешний угол равен \( 37^{\circ} \).
2. Пусть \( α \) и \( β \) — углы, образованные касательными и радиусами, проведенными к точкам касания.
3. Сумма углов в четырехугольнике, образованном внешним точкой, центром окружности и двумя точками касания, равна 360°.
4. Углы при точках касания равны 90°.
5. Пусть \( O \) — центр окружности. Пусть \( P \) — внешняя точка. Пусть \( A \) и \( B \) — точки касания.
6. Тогда \( \angle OAP = \angle OBP = 90^{\circ} \).
7. \( \angle APB = 37^{\circ} \).
8. В четырехугольнике \( OAPB \): \( \angle AOB + \angle OAP + \angle APB + \angle OBP = 360^{\circ} \).
9. \( \angle AOB + 90^{\circ} + 37^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ} \).
10. \( \angle AOB + 217^{\circ} = 360^{\circ} \).
11. \( \angle AOB = 360^{\circ} - 217^{\circ} = 143^{\circ} \).
12. Угол \( x \) на рисунке обозначен как центральный угол, соответствующий дуге, отсекаемой касательными.
13. Центральный угол равен величине дуги, на которую он опирается.
14. Таким образом, \( x = \angle AOB \).
15. \( x = 143^{\circ} \).

Ответ: 143