In the given right-angled triangle ABC, CD is the altitude to the hypotenuse. If CD = 8 and angle B = 45 degrees, find the length of AC.

Привет! Давай разберемся с этой задачей по геометрии. Смотри, что у нас есть:

• Прямоугольный треугольник ABC (угол C = 90 градусов).
• CD — высота, проведенная к гипотенузе AB.
• Длина высоты CD = 8.
• Угол B = 45 градусов.

Что нужно найти: Длину стороны AC.

Решение:

1. Анализируем треугольник CDB:
   Мы знаем, что CD — это высота, поэтому угол CDB = 90 градусов. В треугольнике CDB у нас есть угол B = 45 градусов и угол CDB = 90 градусов. Сумма углов в треугольнике — 180 градусов, значит, угол BCD = 180 - 90 - 45 = 45 градусов.
2. Вывод о треугольнике CDB:
   Так как в треугольнике CDB два угла равны (45 градусов), то этот треугольник — равнобедренный. Это значит, что стороны, лежащие напротив равных углов, тоже равны. Следовательно, DB = CD = 8.
3. Рассматриваем треугольник ADC:
   У нас есть угол CDB = 90 градусов. Угол ADC является смежным с углом CDB, поэтому угол ADC = 180 - 90 = 90 градусов. То есть, треугольник ADC тоже прямоугольный.
4. Используем свойство высоты в прямоугольном треугольнике:
   В прямоугольном треугольнике ABC, высота CD, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки AD и DB. Существует такое свойство: квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу. То есть:
   \[ CD^2 = AD × DB \]
   Мы знаем, что CD = 8 и DB = 8. Подставляем эти значения:
   \[ 8^2 = AD × 8 \]
   \[ 64 = AD × 8 \]
   Чтобы найти AD, делим 64 на 8:
   \[ AD = \frac{64}{8} = 8 \]
5. Находим AC:
   Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику ADC. Мы знаем, что CD = 8 и AD = 8. Это значит, что треугольник ADC тоже равнобедренный (катеты равны).
   Чтобы найти гипотенузу AC, мы можем использовать теорему Пифагора:
   \[ AC^2 = AD^2 + CD^2 \]
   \[ AC^2 = 8^2 + 8^2 \]
   \[ AC^2 = 64 + 64 \]
   \[ AC^2 = 128 \]
   Теперь извлекаем квадратный корень:
   \[ AC = \sqrt{128} = \sqrt{64 × 2} = 8×√{2} \]

Ответ: Длина стороны AC равна 8√2.