Имеются данные, характеризующие производительность труда (Y) и возраст работников предприятия (X). Какая нелинейная регрессия наилучшим образом опишет представленную зависимость?

Решение:

Анализируем представленный график. Наблюдается тенденция к увеличению производительности труда с возрастом до определенного пика, после чего производительность начинает снижаться. Это указывает на нелинейную зависимость, возможно, квадратичную или лог-линейную.

Сравним предложенные варианты регрессий:

• Вариант 1: \( Y' = 0,6654 \cdot X + 82,125; R^2 = 0,314 \). Это линейная регрессия. Коэффициент детерминации \( R^2 = 0,314 \) очень низкий, что говорит о плохом соответствии данным.
• Вариант 2: \( Y'= -0,1195 \cdot X^2+8,8879 \cdot X-46,511; R^2 = 0,7807 \). Это квадратичная регрессия. Высокий коэффициент детерминации \( R^2 = 0,7807 \) указывает на хорошее соответствие данным. Форма параболы (с отрицательным коэффициентом при \( X^2 \)) соответствует наблюдаемому тренду (рост, затем спад).

• Вариант 3: \( Y'= 43,354 \cdot X^{0,252}; R^2 = 0,4183 \). Это степенная регрессия. Коэффициент \( R^2 = 0,4183 \) средний, но форма степенной функции (с положительным показателем степени) не описывает снижение производительности с возрастом.
• Вариант 4: \( Y' = 82,364e^{0.0069X}; R^2 = 0,332 \). Это экспоненциальная регрессия. Низкий коэффициент \( R^2 = 0,332 \) и монотонно возрастающий характер экспоненциальной функции не соответствуют графику.

Наилучшим образом представленную зависимость описывает квадратичная регрессия с \( R^2 = 0,7807 \).

Ответ: Y'= -0,1195 * X^2+8,8879*X-46,511$$ R^2 = 0,7807.