331. Имеются брёвна по 4 м и 5 м. Сколько брёвен каждого вида надо распилить, чтобы получить 42 бревна по 1 м и сделать наименьшее число распилов?

Для решения этой задачи необходимо определить, какое количество брёвен по 4 м и по 5 м нужно распилить, чтобы получить 42 бревна по 1 м, при этом минимизируя количество распилов.

Пусть x - количество брёвен по 4 м, которые нужно распилить.

Пусть y - количество брёвен по 5 м, которые нужно распилить.

Тогда общее количество полученных брёвен по 1 м будет равно:

$$4x + 5y = 42$$

Наша задача - найти такие целые неотрицательные значения x и y, которые удовлетворяют этому уравнению, и при этом минимизировать общее количество распилов. Количество распилов для x брёвен по 4 м будет 3x, а для y брёвен по 5 м будет 4y. Минимизируем функцию:

$$F = 3x + 4y$$

Решим уравнение $$4x + 5y = 42$$ относительно x:

$$4x = 42 - 5y$$

$$x = \frac{42 - 5y}{4}$$

Теперь нужно найти целые значения y, при которых x также будет целым и неотрицательным.

• Если y = 0, то x = 42/4 = 10.5 (не целое)
• Если y = 1, то x = (42 - 5)/4 = 37/4 (не целое)
• Если y = 2, то x = (42 - 10)/4 = 32/4 = 8 (целое)
• Если y = 3, то x = (42 - 15)/4 = 27/4 (не целое)
• Если y = 4, то x = (42 - 20)/4 = 22/4 (не целое)
• Если y = 5, то x = (42 - 25)/4 = 17/4 (не целое)
• Если y = 6, то x = (42 - 30)/4 = 12/4 = 3 (целое)
• Если y = 7, то x = (42 - 35)/4 = 7/4 (не целое)
• Если y = 8, то x = (42 - 40)/4 = 2/4 (не целое)

Итак, у нас есть два варианта: 1) x = 8, y = 2. В этом случае $$F = 3 \cdot 8 + 4 \cdot 2 = 24 + 8 = 32$$ распила. 2) x = 3, y = 6. В этом случае $$F = 3 \cdot 3 + 4 \cdot 6 = 9 + 24 = 33$$ распила.

Минимальное количество распилов достигается при x = 8 и y = 2.

Необходимо распилить 8 брёвен по 4 м и 2 бревна по 5 м.

Ответ: 8 брёвен по 4 м и 2 бревна по 5 м.