Имеется 2011 одинаковых по виду монет, среди которых либо две фальшивых, либо ни одной. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь узнать, есть ли фальшивые монеты или нет, если фальшивые монеты имеют одну и ту же массу, отличающуюся от массы настоящей монеты?

Разделим монеты на три группы: по 670 монет в группах A и B и 671 монету в группе C.

Первое взвешивание: сравним группы A и B.

• Если весы уравновесились, то фальшивые монеты находятся в группе C либо фальшивых монет нет. Во втором взвешивании разделим группу C на две части: 335 и 336 монет. Сравним любые 335 монет из первой части с 335 монетами из второй. Если равновесие — фальшивых монет нет; если нет — фальшивые монеты есть.
• Если равновесия нет, то в одной из групп A и B находятся две фальшивые монеты, а в другой их нет. Во втором взвешивании сравним одну монету из более лёгкой группы с одной монетой из более тяжёлой группы. Если чаши уравновесятся, фальшивых монет нет невозможно, поэтому такой случай не возникает; неравновесие подтверждает наличие фальшивых монет.

Однако направление отклонения в первом взвешивании не позволяет однозначно отличить ситуацию, когда фальшивые монеты тяжелее настоящих, от ситуации, когда они легче. Поэтому требуемое определение за два взвешивания невозможно.

Ответ: невозможно.