600. Имеет ли корни многочлен: a) x² + 1; б) х³ - 27; в) -2у⁶ - 1; г) у⁴ + 3y² + 7?

Для определения, имеет ли многочлен корни, нужно понять, существуют ли такие значения переменных, при которых многочлен равен нулю. a) \(x^2 + 1 = 0\). Здесь \(x^2 = -1\). В действительных числах корней нет, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен. Однако, в комплексных числах корни есть: \(x = \pm i\). б) \(x^3 - 27 = 0\). Здесь \(x^3 = 27\). Корень есть: \(x = 3\). в) \(-2y^6 - 1 = 0\). Здесь \(-2y^6 = 1\), или \(y^6 = -\frac{1}{2}\). В действительных числах корней нет, так как \(y^6\) всегда неотрицателен. Однако, в комплексных числах корни есть. г) \(y^4 + 3y^2 + 7 = 0\). Это биквадратное уравнение. Пусть \(z = y^2\), тогда \(z^2 + 3z + 7 = 0\). Дискриминант \(D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 9 - 28 = -19\). Так как дискриминант отрицательный, то действительных корней нет. Комплексные корни есть.

Ответ:

• a) В действительных числах корней нет, в комплексных – есть.
• б) Корень есть (x=3).
• в) В действительных числах корней нет, в комплексных – есть.
• г) В действительных числах корней нет, в комплексных – есть.