III уровень 9. Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями: осью х, у=-х²+8х-7.

Задание 9. Площадь фигуры

Дано: фигура, ограниченная осью x и параболой \( y = -x^2 + 8x - 7 \).

Найти: площадь этой фигуры.

Решение:

1. Сначала найдем точки пересечения параболы с осью x. Для этого приравняем \( y \) к нулю: \( -x^2 + 8x - 7 = 0 \).
2. Умножим уравнение на -1, чтобы упростить: \( x^2 - 8x + 7 = 0 \).
3. Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 8, произведение равно 7. Корни: \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = 7 \).
4. Парабола \( y = -x^2 + 8x - 7 \) ветвями направлена вниз (так как коэффициент при \( x^2 \) отрицательный). Это значит, что на отрезке \( [1; 7] \) функция принимает отрицательные значения, и площадь будет находиться под осью x.
5. Площадь фигуры вычисляется с помощью определенного интеграла. Так как парабола ниже оси x на отрезке \( [1; 7] \), мы возьмем интеграл от 1 до 7 и потом возьмем его по модулю (или умножим на -1), чтобы получить положительную площадь: \[ S = ∫_{1}^{7} (-x^2 + 8x - 7) dx \]
6. Вычислим интеграл: \[ S = | [ -\frac{x^3}{3} + \frac{8x^2}{2} - 7x ]_{1}^{7} | \]
7. \( S = | [ -\frac{x^3}{3} + 4x^2 - 7x ]_{1}^{7} | \)
8. Подставим верхний предел интегрирования (x=7): \( -\frac{7^3}{3} + 4 · 7^2 - 7 · 7 = -\frac{343}{3} + 4 · 49 - 49 = -\frac{343}{3} + 196 - 49 = -\frac{343}{3} + 147 \)
9. Подставим нижний предел интегрирования (x=1): \( -\frac{1^3}{3} + 4 · 1^2 - 7 · 1 = -\frac{1}{3} + 4 - 7 = -\frac{1}{3} - 3 \)
10. Вычтем значение нижнего предела из значения верхнего предела: \( (-\frac{343}{3} + 147) - (-\frac{1}{3} - 3) = -\frac{343}{3} + 147 + \frac{1}{3} + 3 = -\frac{342}{3} + 150 \)
11. \( -\frac{342}{3} = -114 \)
12. \( S = -114 + 150 = 36 \)
13. Так как мы взяли интеграл от отрицательной функции, результат получился положительным, что и соответствует площади.

Ответ: Площадь фигуры равна 36.