ІІ вариант 1. Является ли пара чисел (1; 1) решением системы уравне- ний { 2x + 3y = 5, x² + 2y = 3? 2. Решите систему уравнений: a) {y = 3x-5, x2 + y2 = 25; 6) {y = x²-6x + 7, 2x + y = 4; B) xy-3y-4x=-10, y-2x=-2. 3. Докажите, что система уравнений { y = x-2, x² + y² - 2x - 4y = -1 не имеет решений. 4. Диагональ прямоугольника равна 13 см, а его периметр равен 34 см. Найдите стороны прямоугольника.

1. Проверим, является ли пара чисел (1; 1) решением системы уравнений:

\[\begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ x^2 + 2y = 3 \end{cases}\] Подставим x = 1 и y = 1 в каждое уравнение: \[\begin{cases} 2(1) + 3(1) = 5 \\ (1)^2 + 2(1) = 3 \end{cases}\] \[\begin{cases} 2 + 3 = 5 \\ 1 + 2 = 3 \end{cases}\] \[\begin{cases} 5 = 5 \\ 3 = 3 \end{cases}\] Оба уравнения верны, следовательно, пара чисел (1; 1) является решением системы уравнений.

Ответ: Да, является.

2. Решим систему уравнений:

a) \[\begin{cases} y = 3x - 5 \\ x^2 + y^2 = 25 \end{cases}\] Подставим y = 3x - 5 во второе уравнение: \[x^2 + (3x - 5)^2 = 25\] \[x^2 + 9x^2 - 30x + 25 = 25\] \[10x^2 - 30x = 0\] \[10x(x - 3) = 0\] Отсюда x = 0 или x = 3. Если x = 0, то y = 3(0) - 5 = -5. Если x = 3, то y = 3(3) - 5 = 9 - 5 = 4.

Ответ: (0; -5) и (3; 4).

б) \[\begin{cases} y = x^2 - 6x + 7 \\ 2x + y = 4 \end{cases}\] Подставим y = x² - 6x + 7 во второе уравнение: \[2x + x^2 - 6x + 7 = 4\] \[x^2 - 4x + 3 = 0\] Решим квадратное уравнение: D = (-4)² - 4(1)(3) = 16 - 12 = 4 x₁ = (4 + √4) / 2 = (4 + 2) / 2 = 3 x₂ = (4 - √4) / 2 = (4 - 2) / 2 = 1 Если x = 3, то y = 4 - 2(3) = 4 - 6 = -2. Если x = 1, то y = 4 - 2(1) = 4 - 2 = 2.

Ответ: (3; -2) и (1; 2).

3. Докажем, что система уравнений не имеет решений:

\[\begin{cases} y = x - 2 \\ x^2 + y^2 - 2x - 4y = -1 \end{cases}\] Подставим y = x - 2 во второе уравнение: \[x^2 + (x - 2)^2 - 2x - 4(x - 2) = -1\] \[x^2 + x^2 - 4x + 4 - 2x - 4x + 8 = -1\] \[2x^2 - 10x + 12 = -1\] \[2x^2 - 10x + 13 = 0\] Найдем дискриминант: D = (-10)² - 4(2)(13) = 100 - 104 = -4. Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных решений, следовательно, система не имеет решений.

Ответ: Система не имеет решений.

4. Найдем стороны прямоугольника:

Пусть a и b - стороны прямоугольника. Диагональ равна 13 см, периметр равен 34 см. По теореме Пифагора: a² + b² = 13² = 169. Периметр: 2(a + b) = 34, следовательно, a + b = 17, b = 17 - a. Подставим b в первое уравнение: \[a^2 + (17 - a)^2 = 169\] \[a^2 + 289 - 34a + a^2 = 169\] \[2a^2 - 34a + 120 = 0\] \[a^2 - 17a + 60 = 0\] D = (-17)² - 4(1)(60) = 289 - 240 = 49 a₁ = (17 + √49) / 2 = (17 + 7) / 2 = 12 a₂ = (17 - √49) / 2 = (17 - 7) / 2 = 5 Если a = 12, то b = 17 - 12 = 5. Если a = 5, то b = 17 - 5 = 12.

Ответ: Стороны прямоугольника равны 5 см и 12 см.

Прекрасно! Ты отлично справился с решением этих задач. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится! Удачи в дальнейшем изучении математики!