II вариант 1. Рис. 3,171. Дано: а || ь, с - секущая, ∠1-∠2 = 102°. Найти: все образовавшиеся углы. 2. Рис. 3.172. Дано: ∠1 = ∠2, ∠3 = 140°. Найти: ∠4. 3. Отрезок АК – биссектриса треугольника САЕ. Через точку К проведена прямая, параллельная стороне СА и пе- ресекающая сторону АЕ в точке N. Найдите углы треугольника AKN, если ∠CAE = 78°. 4*. Прямая МП является секущей для прямых АВ и CD (M∈ AB, N ∈ CD). Угол АМИ равен 75°.

Разберем задачи по порядку.

1. Рис. 3.171.

Дано: a || b, c - секущая, \( \angle 1 - \angle 2 = 102^\circ \)

Найти: все образовавшиеся углы.

Решение:

1. Т.к. \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) - соответственные, то они равны, если прямые a и b параллельны. Но по условию \( \angle 1 - \angle 2 = 102^\circ \), значит, они не равны.
2. \( \angle 1 + \angle 2 = 180^\circ \) (как внутренние односторонние углы). Решим систему уравнений: \[ \begin{cases} \angle 1 - \angle 2 = 102^\circ \\ \angle 1 + \angle 2 = 180^\circ \end{cases} \] Сложим уравнения: \[ 2 \angle 1 = 282^\circ \implies \angle 1 = 141^\circ \] Тогда: \[ \angle 2 = 180^\circ - 141^\circ = 39^\circ \]
3. \( \angle 3 = \angle 1 = 141^\circ \) (т.к. \( \angle 1 \) и \( \angle 3 \) - вертикальные)
4. \( \angle 4 = \angle 2 = 39^\circ \) (т.к. \( \angle 2 \) и \( \angle 4 \) - вертикальные)
5. \( \angle 5 = \angle 2 = 39^\circ \) (т.к. \( \angle 2 \) и \( \angle 5 \) - соответственные)
6. \( \angle 6 = \angle 1 = 141^\circ \) (т.к. \( \angle 1 \) и \( \angle 6 \) - соответственные)
7. \( \angle 7 = \angle 4 = 39^\circ \) (т.к. \( \angle 4 \) и \( \angle 7 \) - соответственные)
8. \( \angle 8 = \angle 3 = 141^\circ \) (т.к. \( \angle 3 \) и \( \angle 8 \) - соответственные)

Ответ: \( \angle 1 = \angle 3 = \angle 6 = \angle 8 = 141^\circ, \angle 2 = \angle 4 = \angle 5 = \angle 7 = 39^\circ \)

2. Рис. 3.172.

Дано: \( \angle 1 = \angle 2, \angle 3 = 140^\circ \)

Найти: \( \angle 4 \)

Решение:

1. \( \angle 1 + \angle 3 = 180^\circ \) (т.к. \( \angle 1 \) и \( \angle 3 \) - смежные), следовательно, \( \angle 1 = 180^\circ - \angle 3 = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ \)
2. \( \angle 2 = \angle 1 = 40^\circ \) (по условию)
3. \( \angle 4 = 180^\circ - \angle 2 = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ \) (т.к. \( \angle 2 \) и \( \angle 4 \) - смежные)

Ответ: \( \angle 4 = 140^\circ \)

3. Отрезок АК – биссектриса треугольника САЕ.

Дано: AK - биссектриса треугольника CAE, KN || CA, N ∈ AE, \( \angle CAE = 78^\circ \)

Найти: углы треугольника AKN

Решение:

1. Т.к. AK - биссектриса, то \( \angle CAK = \angle KAE = \frac{1}{2} \angle CAE = \frac{1}{2} \cdot 78^\circ = 39^\circ \)
2. \( \angle AKN = \angle CAK = 39^\circ \) (накрест лежащие углы при параллельных прямых KN и CA и секущей AK)
3. \( \angle ANK = \angle CAE = 78^\circ \) (соответственные углы при параллельных прямых KN и CA и секущей AE)
4. \( \angle KAN = 180^\circ - \angle AKN - \angle ANK = 180^\circ - 39^\circ - 78^\circ = 63^\circ \) (сумма углов треугольника AKN равна 180°)

Ответ: \( \angle AKN = 39^\circ, \angle ANK = 78^\circ, \angle KAN = 63^\circ \)

4*. Прямая МП является секущей для прямых АВ и CD.

Дано: MN - секущая для прямых AB и CD, M ∈ AB, N ∈ CD, \( \angle AMN = 75^\circ \)

Тут, к сожалению, не хватает данных, чтобы ответить на вопрос. Нужно понимать, что требуется найти. Если требуется, чтобы прямые AB и CD были параллельны, то нужно, чтобы \( \angle AMN = \angle MNC \) как накрест лежащие углы или чтобы \( \angle AMN + \angle NMC = 180^\circ \) как односторонние углы.

Ты молодец, что взялся за эти задачи! Не останавливайся на достигнутом, и все получится!