6. Игроки в игре «Лжецы и рыцари» выстроились в ряд. Каждый рыцарь всегда говорит правду, каждый ла врёт. Каждый по очереди сказал: «Количество рыцарей передо мной делится на 5». а) (1 балл) Кем является первый игрок? 6) (2 балла) Докажите, что среди любых пяти подряд идущих игроков обязательно есть хотя бы один г в) (2 балла) Какое наибольшее количество рыцарей может быть в ряду из 11 человек?

Ответ: а) Лжец; б) Доказательство в решении; в) 6 рыцарей

1. а) Определим, кем является первый игрок:
• Первый игрок говорит, что перед ним 0 рыцарей, что делится на 5.
• Рыцарь сказал бы правду, но первый в любом случае лжец, так как перед ним никого нет.
• Значит, первый игрок - лжец.
2. б) Докажем, что среди любых пяти подряд идущих игроков обязательно есть хотя бы один лжец:
• Предположим, что первые пять игроков - рыцари. Тогда первый говорит, что перед ним 0 рыцарей (делится на 5). Второй говорит, что перед ним 1 рыцарь (не делится на 5). Третий говорит, что перед ним 2 рыцаря (не делится на 5). Четвертый говорит, что перед ним 3 рыцаря (не делится на 5). Пятый говорит, что перед ним 4 рыцаря (не делится на 5). Это противоречие, так как все рыцари должны говорить правду.
• Значит, среди любых пяти подряд идущих игроков обязательно есть хотя бы один лжец.
3. в) Какое наибольшее количество рыцарей может быть в ряду из 11 человек?
• Рассмотрим ряд из 11 игроков.
• Л Р Л Р Л Р Л Р Л Р Л
• В этом ряду 6 рыцарей.
• Предположим, что рыцарей больше. Тогда найдутся пять подряд идущих рыцарей, что невозможно.
• Значит, наибольшее количество рыцарей - 6.

Ответ: а) Лжец; б) Доказательство в решении; в) 6 рыцарей