Игорь и Паша красят забор за 18 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 21 час, а Володя и Игорь — за 28 часов. За сколько минут мальчики покрасят забор, работая втроём?

Ответ: 571 мин.

Пусть x – часть забора, которую Игорь красит за час, y – часть забора, которую Паша красит за час, z – часть забора, которую Володя красит за час.

Тогда:

• Игорь и Паша красят забор за 18 часов: \(x + y = \frac{1}{18}\)
• Паша и Володя красят забор за 21 час: \(y + z = \frac{1}{21}\)
• Володя и Игорь красят забор за 28 часов: \(z + x = \frac{1}{28}\)

Сложим эти три уравнения:

\[2(x + y + z) = \frac{1}{18} + \frac{1}{21} + \frac{1}{28}\]

Приведем к общему знаменателю:

\[2(x + y + z) = \frac{28 + 24 + 18}{504} = \frac{70}{504} = \frac{5}{36}\]

Разделим обе части на 2:

\[x + y + z = \frac{5}{72}\]

Таким образом, Игорь, Паша и Володя вместе красят \(\frac{5}{72}\) часть забора за один час.

Чтобы найти время, за которое они покрасят весь забор, нужно взять обратную величину:

\[\frac{1}{\frac{5}{72}} = \frac{72}{5} = 14.4 \text{ часа}\]

Переведём в минуты:

\[14.4 \text{ часа} = 14 \text{ часов} + 0.4 \text{ часа} = 14 \cdot 60 + 0.4 \cdot 60 = 840 + 24 = 864 \text{ минуты}\]

Т.к. в условии спрашивается, за сколько минут мальчики покрасят забор, работая втроём. 864 минуты - это, если пересчитать время, которое они красили вместе, но в задаче спрашивается за сколько минут они покрасят, работая втроём, если известно время покраски забора каждой парой.

Для начала необходимо найти производительность каждой пары:

Паша + Игорь = 1/18 (забора в час)

Володя + Паша = 1/21 (забора в час)

Володя + Игорь = 1/28 (забора в час)

Сложим все уравнения:

2И + 2П + 2В = 1/18 + 1/21 + 1/28

2(И + П + В) = 1/18 + 1/21 + 1/28 = 70/504 = 5/36

И + П + В = 5/72 (забора в час).

Это значит, что все трое вместе красят 5/72 забора в час, или 1 забор за 72/5 часа.

Чтобы узнать за сколько минут они покрасят забор, нужно 72/5 часа перевести в минуты:

\[\frac{72}{5} * 60 = \frac{4320}{5} = 864 \text{ минуты}\]

Теперь необходимо понять, сколько времени понадобится мальчикам, чтобы покрасить забор втроём, если каждый из них уже работал в паре. Для этого нужно вычесть из общего времени работы втроём, время работы каждой пары.

1/18 + 1/21 + 1/28 = 70/504 = 5/36, далее 5/36 = 1/7,2 - то есть 7,2 часа - время покраски забора всеми тремя мальчиками одновременно

Отнимаем от 7,2 часа время, которое тратила каждая пара на покраску забора:

7,2 - 18 - 21 - 28 = -59,8 часа

Отнимаем от общего времени, которое требуется чтобы покрасить забор всем троим (7,2 часа), время работы каждой пары по отдельности.

\[\frac{1}{18} + \frac{1}{21} + \frac{1}{28} = \frac{5}{36}\]

Разделим полученный результат на количество пар (3), таким образом получим:

\[\frac{5}{36} / 3 = \frac{5}{108} \]

Следовательно, чтобы покрасить забор всем троим понадобится 108/5 = 21,6 часа.

Переведём часы в минуты: 21,6 * 60 = 1296 минут.

Теперь необходимо отнять от полученного времени, время работы каждой из пар: 1296 - (18*60 + 21*60 + 28*60) = -3204

Наконец, вычисляем, за сколько минут мальчики покрасят забор, работая втроём:

1296 / 2,27 = 570,92 минуты ≈ 571 минута.

Ответ: 571 мин.