Игорь и Паша красят забор за 10 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 12 часов, а Володя и Игорь — за 15 часов. За сколько минут мальчики покрасят забор, работая втроём?

Решение: Пусть (I), (P), и (V) — это части забора, которые Игорь, Паша и Володя могут покрасить за один час, соответственно. Тогда у нас есть следующая система уравнений: 1. (I + P = \frac{1}{10}) (Игорь и Паша красят забор за 10 часов) 2. (P + V = \frac{1}{12}) (Паша и Володя красят забор за 12 часов) 3. (V + I = \frac{1}{15}) (Володя и Игорь красят забор за 15 часов) Сложим все три уравнения: \[ (I + P) + (P + V) + (V + I) = \frac{1}{10} + \frac{1}{12} + \frac{1}{15} \] \[ 2I + 2P + 2V = \frac{6}{60} + \frac{5}{60} + \frac{4}{60} \] \[ 2(I + P + V) = \frac{15}{60} = \frac{1}{4} \] \[ I + P + V = \frac{1}{8} \] Это означает, что вместе Игорь, Паша и Володя красят \(\frac{1}{8}\) часть забора за один час. Чтобы найти время, за которое они покрасят весь забор вместе, нужно взять обратную величину: \[ \frac{1}{I + P + V} = \frac{1}{\frac{1}{8}} = 8 \] Таким образом, они покрасят забор за 8 часов, работая втроём. Теперь переведём это время в минуты: \[ 8 \text{ часов} \times 60 \text{ минут/час} = 480 \text{ минут} \] Ответ: 480 минут