5. Идеальный одноатомный газ, начальный объем которого V₁ = 1,0 м³, находился под давлением р₁. Газ сначала изобарно нагрели до объема V₂ = 3,0 м³, а затем продолжили нагревать при постоянном объеме до давления р₃ = 240 кПа. Определите начальное давление р₁ газа, если при переходе из начального состояния в конечное газ получил количество теплоты Q₁₂ = 1,12 МДж. Масса газа оставалась постоянной.

Дано: $$V_1 = 1.0 \text{ м}^3$$ $$V_2 = 3.0 \text{ м}^3$$ $$p_3 = 240 \text{ кПа} = 240 \cdot 10^3 \text{ Па}$$ $$Q = 1.12 \text{ МДж} = 1.12 \cdot 10^6 \text{ Дж}$$ Найти: $$p_1$$

Решение: Процесс состоит из двух этапов: 1-2 изобарный, 2-3 изохорный. Общее количество теплоты, полученное газом, равно сумме теплоты, полученной на каждом этапе: $$Q = Q_{12} + Q_{23}$$ Для изобарного процесса 1-2: $$Q_{12} = \Delta U_{12} + A_{12} = \frac{3}{2} p_1 (V_2 - V_1) + p_1 (V_2 - V_1) = \frac{5}{2} p_1 (V_2 - V_1)$$ Для изохорного процесса 2-3: $$Q_{23} = \Delta U_{23} = \frac{3}{2} V_2 (p_3 - p_1)$$ Тогда: $$Q = \frac{5}{2} p_1 (V_2 - V_1) + \frac{3}{2} V_2 (p_3 - p_1)$$ $$Q = \frac{5}{2} p_1 (3.0 \text{ м}^3 - 1.0 \text{ м}^3) + \frac{3}{2} \cdot 3.0 \text{ м}^3 (240 \cdot 10^3 \text{ Па} - p_1)$$ $$1.12 \cdot 10^6 \text{ Дж} = \frac{5}{2} p_1 \cdot 2.0 \text{ м}^3 + \frac{9}{2} (240 \cdot 10^3 \text{ Па} - p_1)$$ $$1.12 \cdot 10^6 \text{ Дж} = 5 p_1 + 1080 \cdot 10^3 - 4.5 p_1$$ $$0.5 p_1 = 1.12 \cdot 10^6 - 1080 \cdot 10^3$$ $$0.5 p_1 = 40 \cdot 10^3$$ $$p_1 = 80 \cdot 10^3 \text{ Па} = 80 \text{ кПа}$$ Ответ: 80 кПа