І вариант: 1.Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если катеты равны 2см и 5 см. 2.Выясните, является ли треугольник прямоугольным, если его стороны равны 9 см, 5 см, 7 см. 3. Найдите периметр ромба и его площадь, если его диагонали равны 16см и 30см. 4. Найдите площадь прямоугольной трапеции, у которой основания равны 6см и 18см, а большая боковая сторона равна 15см.

Привет! Разберём задачи по геометрии. Будет интересно!

1. Гипотенуза прямоугольного треугольника

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны \( a = 2 \) см и \( b = 5 \) см. Нужно найти гипотенузу \( c \).

По теореме Пифагора:

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]

Подставляем значения катетов:

\[ c^2 = 2^2 + 5^2 = 4 + 25 = 29 \]

Тогда гипотенуза \( c \) равна:

\[ c = \sqrt{29} \approx 5.39 \text{ см} \]

Ответ: Гипотенуза прямоугольного треугольника равна \( \sqrt{29} \) см или примерно 5.39 см.

2. Является ли треугольник прямоугольным?

Пусть стороны треугольника равны \( a = 9 \) см, \( b = 5 \) см и \( c = 7 \) см. Проверим, выполняется ли теорема Пифагора.

Если треугольник прямоугольный, то квадрат наибольшей стороны должен быть равен сумме квадратов двух других сторон.

Проверим:

\[ a^2 = 9^2 = 81 \] \[ b^2 + c^2 = 5^2 + 7^2 = 25 + 49 = 74 \]

Так как \( 81
eq 74 \), то теорема Пифагора не выполняется.

Ответ: Треугольник не является прямоугольным.

3. Периметр и площадь ромба

Пусть диагонали ромба равны \( d_1 = 16 \) см и \( d_2 = 30 \) см. Диагонали ромба перпендикулярны и делят друг друга пополам.

Тогда половинки диагоналей равны \( \frac{d_1}{2} = 8 \) см и \( \frac{d_2}{2} = 15 \) см.

Сторону ромба \( a \) найдем по теореме Пифагора:

\[ a = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17 \text{ см} \]

Периметр ромба равен:

\[ P = 4a = 4 \times 17 = 68 \text{ см} \]

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

\[ S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \times 16 \times 30 = 8 \times 30 = 240 \text{ см}^2 \]

Ответ: Периметр ромба равен 68 см, площадь ромба равна 240 см².

4. Площадь прямоугольной трапеции

Пусть основания трапеции равны \( a = 6 \) см и \( b = 18 \) см, а большая боковая сторона равна \( c = 15 \) см.

В прямоугольной трапеции одна из боковых сторон является высотой. Проведём высоту из вершины меньшего основания к большему основанию. Получим прямоугольный треугольник, где гипотенуза равна 15 см, а один из катетов равен \( 18 - 6 = 12 \) см.

Высоту трапеции \( h \) найдем по теореме Пифагора:

\[ h = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9 \text{ см} \]

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту:

\[ S = \frac{a + b}{2} h = \frac{6 + 18}{2} \times 9 = \frac{24}{2} \times 9 = 12 \times 9 = 108 \text{ см}^2 \]

Ответ: Площадь прямоугольной трапеции равна 108 см².

Проверка за 10 секунд: Убедись, что правильно применил теорему Пифагора и формулы площадей.

Читерский прием: Всегда перепроверяй единицы измерения и конечный результат, чтобы избежать ошибок.