І вариант 1. Сторона треугольника равна 5 см, а высота, проведенная к ней, в два раза больше стороны. Найдите площадь треугольника. 2. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8 см. Найдите гипотенузу и площадь треугольника. 3. Найдите площадь и периметр ромба, если его диагонали равны 8 и 10 см. 4*. В прямоугольной трапеции АВСК большая боковая сторона равна 3√2 см, угол К равен 45°, а высота СН делит основание АК пополам. Найдите площадь трапеции.

1.

Сторона треугольника равна 5 см, высота, проведенная к ней, в два раза больше стороны, то есть 5 * 2 = 10 см.

Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

$$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$$

где $$S$$ - площадь треугольника, $$a$$ - сторона треугольника, $$h$$ - высота, проведенная к стороне $$a$$.

Площадь треугольника равна:

$$S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 10 = 25 \text{ см}^2$$

Ответ: 25 см²

---

2.

Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8 см.

Гипотенузу найдем по теореме Пифагора:

$$c^2 = a^2 + b^2$$

где $$c$$ - гипотенуза, $$a$$ и $$b$$ - катеты.

Гипотенуза равна:

$$c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$$

$$c = \sqrt{100} = 10 \text{ см}$$

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

$$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$$

Площадь треугольника равна:

$$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \text{ см}^2$$

Ответ: 10 см; 24 см²

---

3.

Диагонали ромба равны 8 и 10 см.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

$$S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2$$

где $$d_1$$ и $$d_2$$ - диагонали ромба.

Площадь ромба равна:

$$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 = 40 \text{ см}^2$$

Периметр ромба равен сумме длин всех его сторон. Так как все стороны ромба равны, то периметр равен:

$$P = 4 \cdot a$$

где $$a$$ - сторона ромба.

Диагонали ромба перпендикулярны и делят друг друга пополам, поэтому сторона ромба равна:

$$a = \sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2} = \sqrt{(\frac{8}{2})^2 + (\frac{10}{2})^2} = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41} \text{ см}$$

Периметр ромба равен:

$$P = 4 \cdot \sqrt{41} \approx 25.61 \text{ см}$$

Ответ: 40 см²; 25.61 см

---

4.

В прямоугольной трапеции АВСК большая боковая сторона равна $$3\sqrt{2}$$ см, угол К равен 45°, а высота СН делит основание АК пополам.

Так как угол К равен 45°, то треугольник СНК - равнобедренный, а значит, СН = НК.

Рассмотрим прямоугольный треугольник CHK:

$$CK = 3\sqrt{2}$$

$$\angle K = 45^\circ$$

$$CH = HK = x$$

По теореме Пифагора:

$$CK^2 = CH^2 + HK^2$$

$$(3\sqrt{2})^2 = x^2 + x^2$$

$$18 = 2x^2$$

$$x^2 = 9$$

$$x = 3 \text{ см}$$

То есть, СН = НК = 3 см.

Так как высота СН делит основание АК пополам, то АН = НК = 3 см.

Тогда, АК = АН + НК = 3 + 3 = 6 см.

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту:

$$S = \frac{1}{2} \cdot (BC + AK) \cdot CH$$

Так как АВСН - прямоугольник, то ВС = АН = 3 см.

Площадь трапеции равна:

$$S = \frac{1}{2} \cdot (3 + 6) \cdot 3 = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 3 = 13.5 \text{ см}^2$$

Ответ: 13.5 см²