І вариант. 1. Разделите отрезок на две равные части с помощью циркуля. 2. Начертите произвольный угол РОВ. Постройте его биссектрису ОК с помощью циркуля. 3. Луч AD - биссектриса угла А. На сторонах угла А отмечены точки В и С, так, что ZADB= ZADC. Доказать, что АВ = АС. 4. Даны прямая, а и точка на ней В. Построить с помощью циркуля прямую с, проходящую через данную точку и перпендикулярную к данной прямой а.

Решение заданий по геометрии.

1. Разделите отрезок на две равные части с помощью циркуля.

Для разделения отрезка на две равные части (построения серединного перпендикуляра) с помощью циркуля:

1. Поставьте ножку циркуля в один конец отрезка и проведите дугу радиусом больше половины длины отрезка.
2. Поставьте ножку циркуля в другой конец отрезка и проведите дугу тем же радиусом. Эти дуги пересекутся в двух точках.
3. Проведите прямую через точки пересечения этих дуг. Эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку и делит его на две равные части.

2. Начертите произвольный угол РОВ. Постройте его биссектрису ОК с помощью циркуля.

Для построения биссектрисы угла РОВ с помощью циркуля:

1. Поставьте ножку циркуля в вершину угла О.
2. Проведите дугу, пересекающую стороны угла ОР и ОВ в точках D и E соответственно.
3. Поставьте ножку циркуля в точку D и проведите дугу внутри угла.
4. Поставьте ножку циркуля в точку E и проведите дугу внутри угла так, чтобы она пересекла предыдущую дугу в точке F.
5. Проведите луч ОК через точку F. Этот луч является биссектрисой угла РОВ.

3. Луч AD - биссектриса угла А. На сторонах угла А отмечены точки В и С, так, что ∠ADB = ∠ADC. Доказать, что АВ = АС.

Дано:

• AD - биссектриса угла A
• ∠ADB = ∠ADC

Доказать: AB = AC

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники ADB и ADC:
2. AD - общая сторона
3. ∠BAD = ∠CAD (так как AD - биссектриса угла A)
4. ∠ADB = ∠ADC (по условию)

Следовательно, треугольники ADB и ADC равны по стороне и двум прилежащим углам (УСУ).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AB = AC.

Что и требовалось доказать.

4. Даны прямая, а и точка на ней В. Построить с помощью циркуля прямую с, проходящую через данную точку и перпендикулярную к данной прямой а.

Построение:

1. Поместите острие циркуля в точку B на прямой a.
2. Проведите дугу, пересекающую прямую a в двух точках, A и C.
3. Установите острие циркуля в точку A и проведите дугу над точкой B.
4. Установите острие циркуля в точку C, и проведите дугу, пересекающую предыдущую дугу в точке D.
5. Проведите прямую через точки B и D. Эта прямая c перпендикулярна прямой a и проходит через точку B.

Ответ: смотри решение.