І вариант 1) Найдите сторону основания u высоту правильной четырехугольной призмы, если площадь её полной поверхности равна 40 сий, а площадь боковой поверхности равна 32сий. 2) В прямом парамеленинеде с высотой 514 м стороны основания АВСД равния Зим и 4 лед диагонсель С равна 6 м. Найдите площадь диаго- нального сечения параллелепипеда, про- ходящего через вершишког Ви Д. 3) Найдите апофему правишьшой треуголь- ной пирамиды, у которой площадь боковой поверхности равна 6053сий, а площадь полной поверхности 10853 сей. 2 2

Задание 1

Логика такая: Площадь полной поверхности призмы складывается из площади боковой поверхности и площадей двух оснований. Зная это, можно найти площадь основания, а затем и сторону основания, так как призма правильная четырехугольная (то есть, в основании квадрат).

Решение:

1. Найдем площадь двух оснований:
   \( S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} \)
   \( 2S_{осн} = S_{полн} - S_{бок} = 40 - 32 = 8 \) см²
2. Найдем площадь одного основания:
   \( S_{осн} = \frac{8}{2} = 4 \) см²
3. Найдем сторону основания (квадрата):
   \( S_{осн} = a^2 \), где a - сторона основания.
   \( a = \sqrt{S_{осн}} = \sqrt{4} = 2 \) см
4. Площадь боковой поверхности равна сумме площадей четырех боковых граней:
   \( S_{бок} = 4 \cdot a \cdot h \), где h - высота призмы.
   Отсюда выразим высоту:
   \( h = \frac{S_{бок}}{4a} = \frac{32}{4 \cdot 2} = \frac{32}{8} = 4 \) см

Ответ: Сторона основания равна 2 см, высота призмы равна 4 см.

Задание 2

Смотри, тут всё просто: В прямом параллелепипеде диагональное сечение, проходящее через вершину, представляет собой прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника – высота параллелепипеда, а другая – диагональ основания. Чтобы найти площадь, нужно знать обе стороны.

Решение:

1. Диагональ AC известна: AC = 6 м. Высота тоже известна: \( h = \sqrt{14} \) м.
2. Площадь диагонального сечения равна:
   \( S = AC \cdot h = 6 \cdot \sqrt{14} \) м²

Ответ: Площадь диагонального сечения равна \( 6\sqrt{14} \) м².

Задание 3

Разбираемся: Апофема – это высота боковой грани пирамиды, проведенная из вершины. Чтобы её найти, нужно воспользоваться формулой площади боковой поверхности правильной пирамиды.

Решение:

1. Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади боковой поверхности и площади основания:
   \( S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} \)
   Отсюда находим площадь основания:
   \( S_{осн} = S_{полн} - S_{бок} = 108\sqrt{3} - 60\sqrt{3} = 48\sqrt{3} \) см²
2. Так как пирамида правильная треугольная, в основании лежит равносторонний треугольник. Площадь равностороннего треугольника выражается формулой:
   \( S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \), где a - сторона основания.
   Тогда:
   \( \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 48\sqrt{3} \)
   \( a^2 = \frac{4 \cdot 48\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4 \cdot 48 = 192 \)
   \( a = \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3} \) см
3. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды выражается формулой:
   \( S_{бок} = \frac{1}{2} P h \), где P - периметр основания, h - апофема.
   Периметр основания равен:
   \( P = 3a = 3 \cdot 8\sqrt{3} = 24\sqrt{3} \) см
4. Находим апофему:
   \( S_{бок} = \frac{1}{2} P h \)
   \( h = \frac{2S_{бок}}{P} = \frac{2 \cdot 60\sqrt{3}}{24\sqrt{3}} = \frac{120\sqrt{3}}{24\sqrt{3}} = 5 \) см

Ответ: Апофема равна 5 см.