І вариант (девочки) 1) Даны треугольники АВС и MKD. Известно, что утверждать, что ДАВС подобен AMKD. 2) Дано: MN || PD а) Доказать, что РК: МК = KD : KN 6) Найти MN - ?, если РМ = 8 см, КМ = 10 см, PD = 20 см. 3) Найти отношение площадей ДАВС и APQR, если PQ = 9 см, QR = 15 см, PR = 27см, АС = 5 см, АВ = 9 см, ВС = 3 см.

Для доказательства подобия треугольников ABC и MKD нужно проверить, выполняется ли пропорциональность сторон и равенство соответствующих углов. Из условия дано, что \(\frac{AB}{MK} = \frac{BC}{KD} = \frac{AC}{MD}\). Если это условие выполняется, то треугольники подобны по третьему признаку подобия (по трем сторонам).

Дано: MN || PD.

Нужно доказать: \(\frac{PK}{MK} = \frac{KD}{KN}\)

Рассмотрим треугольник KPD. В нем MN || PD. По теореме Фалеса (или по теореме о пропорциональных отрезках), если параллельные прямые пересекают стороны угла, то отрезки, образованные на одной стороне угла, пропорциональны отрезкам, образованным на другой стороне угла.

Таким образом, \(\frac{KM}{MP} = \frac{KN}{ND}\)

Преобразуем это равенство:

\(\frac{KM}{MP} = \frac{KN}{ND}\Rightarrow \frac{KM}{KN} = \frac{MP}{ND}\)

Теперь рассмотрим отношение \(\frac{PK}{MK}\) и \(\frac{KD}{KN}\). Нам нужно доказать, что \(\frac{PK}{MK} = \frac{KD}{KN}\)

Заметим, что PK = PM + MK и KD = KN + ND.

Выразим PM и ND через MK и KN соответственно:

\(PM = PK - MK\) и \(ND = KD - KN\)

Подставим эти выражения в ранее полученное равенство:

\(\frac{KM}{PK - MK} = \frac{KN}{KD - KN}\)

Из этого равенства следует, что \(\frac{PK}{MK} = \frac{KD}{KN}\), что и требовалось доказать.

Дано: PM = 8 см, KM = 10 см, PD = 20 см.

Нужно найти MN.

Треугольники KMN и KPD подобны, так как MN || PD. Значит, \(\frac{KM}{KP} = \frac{MN}{PD}\)

Найдем KP: KP = KM + MP = 10 см + 8 см = 18 см.

Теперь подставим известные значения в пропорцию:

\(\frac{10}{18} = \frac{MN}{20}\)

Решим уравнение относительно MN:

\(MN = \frac{10 \cdot 20}{18} = \frac{200}{18} = \frac{100}{9} \approx 11.11\) см.

Дано: PQ = 9 см, QR = 15 см, PR = 27 см, AC = 5 см, AB = 9 см, BC = 3 см.

Для нахождения отношения площадей двух треугольников, нужно сначала проверить, подобны ли они. Если они подобны, то отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия.

Проверим, пропорциональны ли стороны треугольников ABC и PQR:

\(\frac{AB}{PQ} = \frac{9}{9} = 1\)

\(\frac{BC}{QR} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}\)

\(\frac{AC}{PR} = \frac{5}{27}\)

Так как отношения сторон не равны, треугольники ABC и PQR не подобны. Следовательно, нельзя просто вычислить отношение площадей через квадрат коэффициента подобия.

В данном случае, нам нужно найти площади каждого треугольника отдельно, а затем найти их отношение. Однако, для нахождения площадей нам не хватает данных (например, высот или углов). Если бы были известны углы, можно было бы использовать формулу площади треугольника через две стороны и синус угла между ними: \(S = \frac{1}{2}ab \sin(\gamma)\). Если бы были известны высоты, то \(S = \frac{1}{2}bh\).

Предположим, что треугольники подобны, и дана опечатка в условии, и \(\frac{BC}{QR} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}\), тогда площади относятся как квадрат коэффициента подобия. \(k = \frac{1}{5}\), значит, \(\frac{S_{ABC}}{S_{PQR}} = k^2 = \frac{1}{25}\).

Ответ:

1) Треугольники ABC и MKD подобны при условии пропорциональности сторон.

2) a) \(\frac{PK}{MK} = \frac{KD}{KN}\) доказано.

2) б) MN = \(\frac{100}{9}\) см \(\approx 11.11\) см.

3) Отношение площадей = \(\frac{1}{25}\), если стороны подобны.

Ответ: 1) условие пропорциональности, 2) a) доказано, 2) б) MN = 11.11 см, 3) 1/25