І вариант 1.° Угол при основании равнобедренного треугольника равен 57°. Найдите угол при вершине этого треугольника. 2.° Найдите градусную меру угла DCE (рис. 277). 3. Чему равна градусная мера угла Р, изображенного на ри сунке 278? 4." В треугольнике АВС извест но, что ∠C=90°, ∠A = 30°, отрезок ВМ - биссектриса треугольника. Найдите ка- тет АС, если ВМ =6 см. 5. Известно, что BC || AD, BP - DE, ∠AED = ∠CFB (рис. 279). Докажите, что АB || CD.

1. Угол при вершине равнобедренного треугольника.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит, оба угла при основании равны 57°.

Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому угол при вершине равен:

\[180° - 57° - 57° = 66°\]

Ответ: 66°

Проверка за 10 секунд: Убедись, что сумма найденного угла и двух углов при основании равна 180°.

База: Помни, что в равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, а углы при основании равны.

2. Градусная мера угла DCE.

∠DCE и угол 104° - смежные, то есть

\[\angle DCE = 180 - 104 = 76\]

Ответ: 76°

Проверка за 10 секунд: Проверь, является ли сумма углов DCE и 104° равной 180°.

База: Вспоминай свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей.

3. Градусная мера угла P.

Угол, смежный с углом 138°, равен 180° - 138° = 42°.

Угол P является внешним углом треугольника KPN, поэтому он равен сумме двух других углов, не смежных с ним:

\[\angle P = 72° + 42° = 114°\]

Ответ: 114°

Проверка за 10 секунд: Сумма углов KPN и 138° должна быть равна 180°.

База: Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

4. Найти катет AC.

Так как BM - биссектриса, то ∠ABM = ∠CBM = 30°/2 = 15°.

В прямоугольном треугольнике против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы, то есть BC = 1/2 AB.

Рассмотрим треугольник ABM. ∠AMB = 180° - 90° - 15° = 75°.

Тогда AM = BM = 6 см, так как треугольник ABM - равнобедренный.

Тогда AB = AM + MB = 6 + 6 = 12 см.

BC = 1/2 * 12 = 6 см.

По теореме Пифагора:

\[AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{12^2 - 6^2} = \sqrt{144 - 36} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}\]

Ответ: AC = 6\sqrt{3} см

Проверка за 10 секунд: Проверьте, что найденное значение AC соответствует теореме Пифагора для треугольника ABC.

База: Помни, что в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы.

5. Доказать, что AB || CD.

По условию BC || AD и BP = DE.

Тогда BD = BP + PD = DE + PD = PE.

Рассмотрим треугольники AED и CFB.

По условию ∠AED = ∠CFB.

Так как BC || AD, то ∠ADE = ∠CBF (как соответственные углы).

Тогда треугольники AED и CFB равны по стороне (DE = BD) и двум прилежащим углам (∠AED = ∠CFB и ∠ADE = ∠CBF).

Значит, AE = CF.

Так как BC || AD, то BC = AD.

Тогда BE = AD - AE = BC - CF = BF.

Рассмотрим треугольники ABE и CDF.

У них AE = CF, BE = DF, и ∠AEB = ∠CFD (как вертикальные углы).

Тогда треугольники ABE и CDF равны по двум сторонам и углу между ними.

Значит, ∠BAE = ∠DCF.

Тогда AB || CD, так как ∠BAE и ∠DCF - соответственные углы при прямых AB и CD и секущей AC, и они равны.

Ответ: AB || CD доказано.

Проверка за 10 секунд: Убедитесь, что равенство углов BAE и DCF влечет параллельность AB и CD.

База: Признаки равенства треугольников помогают доказать параллельность прямых.