I. Новый плащ(?), изящная брошь(?), горечь(?) обиды, ряд неудач(?), крутой вираж(?), лёгкая дрожь(?), почувствовать фальшь(?), исполнить туш(?), чёрная тушь(?), мороз жгуч(?), разжечь костёр, предостеречь(?) от ошибки, немного развлеч(?)ся, аккуратно подстричь(?)ся, уйти проч(?), ударить наотмашь(?), упасть навзнич(?), небо всё сплош(?) в тучах, взять реванш(?), ненужная роскош(?), береч(?) необходимую вещ(?), настеж(?) открыть двери, подреж(?)те ветки сирени, увлеч(?)ся чтением, оказать первую помощь(?), радость неожиданных встреч(?).

Вставим мягкий знак там, где он нужен для обозначения мягкости согласного или входит в форму глагола.

Новый плащ, изящная брошь, горечь обиды, ряд неудач, крутой вираж, лёгкая дрожь, почувствовать фальшь, исполнить тушь, чёрная тушь, мороз жгуч, разжечь костёр, предостеречь от ошибки, немного развлечься, аккуратно подстричься, уйти прочь, ударить наотмашь, упасть навзничь, небо всё сплошь в тучах, взять реванш, ненужная роскошь, беречь необходимую вещь, настежь открыть двери, подрежьте ветки сирени, увлечься чтением, оказать первую помощь, радость неожиданных встреч.

Мягкий знак не пишется в словах плащ, неудач, вираж, жгуч, реванш, встреч: это формы или слова, в которых после шипящего мягкость не обозначается.