И МА, образующие с ней углы 30° и 45° соот ветственно. Найдите длину наклонной МК, если длина проекции на- клонной MN на плоскость с равна 4√3 см. Точка М принадлежит одной из граней двугранного угла и удалена от его ребра на 4 см. Найдите расстояние от точки М до другой грани уг- ла, если величина этого угла равна 45°. Угол между плоскостями АВС и ADC равен 60°, AB = BC = AC = 12 см, AD = CD, ZADC = 120°. Найдите отрезок BD. 4. Длины сторон прямоугольника равны 8 и 6 см. Через точку О пересечения его диагоналей проведена прямая ОК, перпендикулярная его плоскости. Найдите расстояние от точки К до вершин прямоугольника, если ОК = 12 см. 5. Из точки, стоящей от плоскости на расстоянии 8 см, проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы в 60° и 30°, а между собой прямой угол. Найдите расстояние между основаниями наклонных.

Привет! Разберём задачи по геометрии.

Задача 3

К сожалению, условие задачи про углы и длины отрезков начинается с обрыва фразы. Предположим, что речь идёт о двух наклонных, образующих углы с плоскостью. Тем не менее, решим задачу про треугольник.

Рассмотрим треугольники ABC и ADC. Так как AB = BC = AC = 12 см, треугольник ABC – равносторонний. Так как AD = CD и ∠ADC = 120°, треугольник ADC – равнобедренный с углом 120° при вершине D.

Чтобы найти BD, можно воспользоваться теоремой косинусов в треугольнике ADC:

AC² = AD² + CD² - 2 * AD * CD * cos(120°)

Так как AD = CD, пусть AD = CD = x. Тогда:

12² = x² + x² - 2 * x * x * (-0.5)

144 = 2x² + x²

144 = 3x²

x² = 48

x = \( 4\sqrt{3} \)

Теперь, зная AD и CD, рассмотрим треугольник ABD. В нём AB = 12 см, AD = \( 4\sqrt{3} \). Угол ∠BAD можно найти, зная, что ∠BAC = 60° (треугольник ABC равносторонний) и ∠DAC = (180° - 120°) / 2 = 30° (треугольник ADC равнобедренный). Тогда ∠BAD = ∠BAC + ∠DAC = 60° + 30° = 90°.

Треугольник ABD – прямоугольный, и можно найти BD по теореме Пифагора:

BD² = AB² + AD²

BD² = 12² + (\( 4\sqrt{3} \))²

BD² = 144 + 48

BD² = 192

BD = \( \sqrt{192} = 8\sqrt{3} \)

Ответ: \( BD = 8\sqrt{3} \) см.

Задача 4

Пусть прямоугольник ABCD, O – точка пересечения диагоналей, OK перпендикулярна плоскости прямоугольника, OK = 12 см. Нужно найти расстояние от точки K до вершин прямоугольника.

Так как O – точка пересечения диагоналей прямоугольника, она равноудалена от всех его вершин. Расстояние от O до каждой вершины равно половине диагонали.

Диагональ прямоугольника можно найти по теореме Пифагора:

AC = \( \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \)

Тогда AO = BO = CO = DO = AC / 2 = 10 / 2 = 5 см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник AOK (OK перпендикулярна плоскости прямоугольника, значит, и AO перпендикулярна OK). По теореме Пифагора:

AK = \( \sqrt{AO^2 + OK^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \)

Так как AO = BO = CO = DO, то AK = BK = CK = DK = 13 см.

Ответ: Расстояние от точки K до каждой вершины прямоугольника равно 13 см.

Задача 5

Пусть из точки A, находящейся на расстоянии 8 см от плоскости, проведены две наклонные AB и AC, образующие с плоскостью углы 60° и 30° соответственно, и угол между наклонными BAC = 90°. Нужно найти расстояние между основаниями наклонных, то есть длину отрезка BC.

Опустим перпендикуляр AD на плоскость, тогда AD = 8 см. Рассмотрим прямоугольные треугольники ADB и ADC.

В треугольнике ADB: ∠ABD = 60°. Тогда AD = AB * sin(60°), следовательно, AB = AD / sin(60°) = 8 / (\( \sqrt{3}/2 \)) = \( 16/\sqrt{3} \)

В треугольнике ADC: ∠ACD = 30°. Тогда AD = AC * sin(30°), следовательно, AC = AD / sin(30°) = 8 / (1/2) = 16

Теперь рассмотрим треугольник ABC. В нём AB = \( 16/\sqrt{3} \), AC = 16, и ∠BAC = 90°. По теореме Пифагора:

BC² = AB² + AC²

BC² = (\( 16/\sqrt{3} \))² + 16²

BC² = 256/3 + 256

BC² = 256/3 + 768/3

BC² = 1024/3

BC = \( \sqrt{1024/3} = 32/\sqrt{3} = (32\sqrt{3})/3 \)

Ответ: Расстояние между основаниями наклонных равно \( (32\sqrt{3})/3 \) см.

Проверка за 10 секунд: Убедись, что правильно применил теорему Пифагора и тригонометрические функции для нахождения расстояний и длин отрезков.

Доп. профит: Уровень Эксперт: Попробуй решить эти задачи разными способами, например, используя векторные методы или координатный способ. Это поможет углубить понимание темы и развить навыки решения задач.