1. Хорды окружности АК И МЕ пересекаются в точке О. Найти длину отрезка МО, если АO= 4см, ОЕ = 5 см, ОК = 15 см. 2. Хорды окружности АВ И СР пересекаются в точке Е. Найти длину отрезка РЕ и СЕ, если СР = 12 см, АЕ=7 см, ЕВ = 4 см. 3. Хорды окружности МК и СД пересекаются в точке А. Найти длину отрезка ДО и ОС, если МА = 6 см, АК=15 см, СА: АД = 2 : 5.

1. Хорды окружности АК и МЕ пересекаются в точке О. Найти длину отрезка МО, если АO= 4см, ОЕ = 5 см, ОК = 15 см.

По теореме о пересекающихся хордах:

$$AO \cdot OK = EO \cdot MO$$

Подставим известные значения:

$$4 \cdot 15 = 5 \cdot MO$$

$$60 = 5 \cdot MO$$

$$MO = \frac{60}{5} = 12 \text{ см}$$

Ответ: МО = 12 см

---

2. Хорды окружности АВ и СР пересекаются в точке Е. Найти длину отрезка РЕ и СЕ, если СР = 12 см, АЕ=7 см, ЕВ = 4 см.

По теореме о пересекающихся хордах:

$$AE \cdot EB = CE \cdot EP$$

Пусть СЕ = x, тогда ЕР = 12 - x.

Подставим известные значения:

$$7 \cdot 4 = x \cdot (12-x)$$

$$28 = 12x - x^2$$

$$x^2 - 12x + 28 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 28 = 144 - 112 = 32$$

$$x_1 = \frac{12 + \sqrt{32}}{2} = \frac{12 + 4\sqrt{2}}{2} = 6 + 2\sqrt{2} \approx 8.83 \text{ см}$$ $$x_2 = \frac{12 - \sqrt{32}}{2} = \frac{12 - 4\sqrt{2}}{2} = 6 - 2\sqrt{2} \approx 3.17 \text{ см}$$

Если $$CE = 6 + 2\sqrt{2} \text{ см}$$, то $$PE = 12 - (6 + 2\sqrt{2}) = 6 - 2\sqrt{2} \text{ см}$$ Если $$CE = 6 - 2\sqrt{2} \text{ см}$$, то $$PE = 12 - (6 - 2\sqrt{2}) = 6 + 2\sqrt{2} \text{ см}$$

Ответ: СЕ = 8.83 см, РЕ = 3.17 см или СЕ = 3.17 см, РЕ = 8.83 см

---

3. Хорды окружности МК и СД пересекаются в точке А. Найти длину отрезка ДО и ОС, если МА = 6 см, АК=15 см, СА: АД = 2 : 5.

Пусть СА = 2х, тогда АД = 5х.

По теореме о пересекающихся хордах:

$$MA \cdot AK = CA \cdot AD$$

Подставим известные значения:

$$6 \cdot 15 = 2x \cdot 5x$$

$$90 = 10x^2$$

$$x^2 = \frac{90}{10} = 9$$

$$x = \sqrt{9} = 3$$

$$CA = 2 \cdot 3 = 6 \text{ см}$$ $$AD = 5 \cdot 3 = 15 \text{ см}$$

$$CD = CA + AD = 6 + 15 = 21 \text{ см}$$

Ответ: АD = 15 см, CA = 6 см