Хорды AB и CD пересекаются в точке M. Найди CD, если AM = 4, BM = 9, длина DM в четыре раза больше длины MC.

Решение:

Согласно свойству пересекающихся хорд в окружности, произведение отрезков каждой хорды равно:

\( AM \cdot MB = CM \cdot MD \)

Из условия задачи известно:

• \( AM = 4 \)
• \( BM = 9 \)
• \( DM = 4 \cdot MC \)

Подставим известные значения в формулу:

\( 4 \cdot 9 = MC \cdot (4 \cdot MC) \)

\( 36 = 4 \cdot MC^2 \)

Разделим обе части уравнения на 4:

\( MC^2 = \frac{36}{4} \)

\( MC^2 = 9 \)

Извлечём квадратный корень:

\( MC = \sqrt{9} = 3 \)

Теперь найдём длину отрезка DM:

\( DM = 4 \cdot MC = 4 \cdot 3 = 12 \)

Длина хорды CD равна сумме длин её отрезков MC и MD:

\( CD = MC + DM \)

\( CD = 3 + 12 \)

\( CD = 15 \)

Ответ: 15