13.7*. Hа отрезке АВ взята точка С: через точки А и В проведе- ны по одну сторону от А В параллельные лучи. На них от ложены отрезки AD = АС И ВЕ = ВС, точка С соединена отрезками с точками D и Е. Докажите, что DC CE. 13.8*. Через точку О, расположенную внутри треугольника АBC. проведена прямая DE, параллельная стороне АС и пересе. кающая стороны АВ И ВС соответственно в точках ДИЕ AD = DO и СЕ = ЕО. Докажите, что ВО угла АВС.

Решение 13.7

1. Так как AD = AC, то треугольник ADC – равнобедренный, и углы при основании AD равны. Обозначим эти углы как α.

   \[\angle DAC = \angle ADC = \alpha\]

2. Аналогично, так как BE = BC, то треугольник BEC – равнобедренный, и углы при основании BE равны. Обозначим эти углы как β.

   \[\angle BEC = \angle BCE = \beta\]

3. Поскольку прямые AD и BE параллельны, углы DAC и ECB являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых и секущей AC, поэтому их сумма равна 180°.

   \[\alpha + \beta = 180^\circ\]

4. Рассмотрим треугольник DCE. Сумма углов в треугольнике равна 180°.

   \[\angle DCE + \angle CDE + \angle CED = 180^\circ\]

5. Угол CDE равен углу ADC, то есть α, а угол CED равен углу BEC, то есть β. Тогда:

   \[\angle DCE + \alpha + \beta = 180^\circ\]

   И так как α + β = 90°:

   \[\angle DCE = 90^\circ\]

6. Следовательно, отрезки DC и CE перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Ответ: Отрезки DC и CE перпендикулярны.

Решение 13.8

1. Поскольку DE || AC, углы BDE и BAC соответственные и равны.

   \[\angle BDE = \angle BAC\]

2. Аналогично, углы BED и BCA соответственные и равны.

   \[\angle BED = \angle BCA\]

3. Так как AD = DO, треугольник ADO – равнобедренный, и углы при основании AD равны.

   \[\angle DAO = \angle DOA\]

   Но угол DAO это то же самое, что угол BAC.

   \[\angle BAC = \angle DOA\]

4. Так как CE = EO, треугольник CEO – равнобедренный, и углы при основании CE равны.

   \[\angle ECO = \angle EOC\]

   Но угол ECO это то же самое, что угол BCA.

   \[\angle BCA = \angle EOC\]

5. Угол AOB является внешним углом для треугольника DOE, поэтому он равен сумме углов ODE и OED.

   \[\angle AOB = \angle ODE + \angle OED\]

   Но угол ODE равен углу BAC, а угол OED равен углу BCA. Тогда:

   \[\angle AOB = \angle BAC + \angle BCA\]

6. Рассмотрим треугольник ABC. Сумма углов в треугольнике равна 180°.

   \[\angle ABC + \angle BAC + \angle BCA = 180^\circ\]

7. Угол BOC является смежным с углом AOB, поэтому их сумма равна 180°.

   \[\angle BOC + \angle AOB = 180^\circ\]

   Тогда:

   \[\angle BOC = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - (\angle BAC + \angle BCA)\]

   Следовательно, угол BOC равен углу ABC.

   \[\angle BOC = \angle ABC\]

8. Таким образом, отрезок BO делит угол ABC пополам, то есть является биссектрисой угла ABC, что и требовалось доказать.

Ответ: ВО - биссектриса угла ABC.