Гвариант. «Признаки равенства прямоугольных треугольников» №1. Дано: ДАВС - прямоугольный (LC = 90°). Найдите ВС, если АВ = 20 см. (рисунок 1) №2. Дано: ДАВС прямоугольный (LC-908). Найдите А. (рисунок 2) №3. Даны два прямоугольных треугольника ДАВС, AADC. АС - биссектриса, угол ВАС = 35°. Доказать: ДАВС = AADC. Найти угол BCD. (рисунок 3) №4. Дан ДАВС, BD - высота. Доказать: Д ABD = ACBD. Найдите BD, если угол А= 30°, AB = 16 см. (рисунок 4)

№1

В прямоугольном треугольнике против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. Катет ВС лежит против угла в 60°, значит, ВС - больший катет. Используем теорему Пифагора:

• AB² = AC² + BC²
• BC² = AB² - AC²

Так как катет АС лежит против угла в 30°, то AC = AB / 2 = 20 / 2 = 10 см.

Подставляем в формулу:

• BC² = 20² - 10² = 400 - 100 = 300
• BC = √300 = 10√3 см

Ответ: 10√3 см

№2

В прямоугольном треугольнике ΔABC угол C равен 90°. Сумма углов треугольника равна 180°.

• ∠A + ∠B + ∠C = 180°
• ∠A + ∠B = 90°

Так как ∠C = 90°. Из условия не ясно, что имеется в виду под LC = 908. Предположим, что ∠B = 44°, как на рисунке 2. Тогда:

• ∠A = 90° - ∠B = 90° - 44° = 46°

Ответ: 46°

№3

Дано, что AC - биссектриса угла BAC, то есть ∠BAC = ∠DAC = 35°.

Рассмотрим треугольники ΔABC и ΔADC:

• AC - общая сторона
• ΔABC = ΔADC (по условию)

Следовательно, ∠BCA = ∠DCA, так как треугольники равны.

В прямоугольном треугольнике ΔABC: ∠BAC + ∠BCA = 90°, значит, ∠BCA = 90° - ∠BAC = 90° - 35° = 55°.

Теперь найдем угол BCD: ∠BCD = ∠BCA + ∠DCA = 55° + 55° = 110°.

Ответ: 110°

№4

Дано, что BD - высота, следовательно, ∠BDA = ∠BDC = 90°.

Рассмотрим треугольники ΔABD и ΔCBD:

• ∠A = 30° (по условию)
• ∠BDA = 90° (так как BD - высота)

Тогда ∠ABD = 180° - 90° - 30° = 60°.

В треугольнике ΔABC:

• AB = 16 см

В прямоугольном треугольнике ΔABD:

• BD = AB ⋅ sin(∠A) = 16 ⋅ sin(30°) = 16 ⋅ 0.5 = 8 см

Ответ: 8 см