Грузчик решил сложить мешки с солью. Когда он укладывал их по 3 в ряд, осталось 2 мешка; когда уложил по 4, тоже осталось 2 мешка; когда уложил по 6, осталось 2 мешка; когда уложил по 10, и в этом случае осталось 2 мешка. Какое наименьшее количество мешков с солью могло быть на складе? Запишите решение и ответ.

Решение:

Пусть \( N \) — общее количество мешков с солью.

По условию задачи, когда грузчик укладывал мешки:

• по 3 в ряд, оставалось 2 мешка. Это значит, что \( N \) при делении на 3 даёт остаток 2. \( N \equiv 2 \pmod{3} \).
• по 4 в ряд, оставалось 2 мешка. Это значит, что \( N \) при делении на 4 даёт остаток 2. \( N \equiv 2 \pmod{4} \).
• по 6 в ряд, оставалось 2 мешка. Это значит, что \( N \) при делении на 6 даёт остаток 2. \( N \equiv 2 \pmod{6} \).
• по 10 в ряд, оставалось 2 мешка. Это значит, что \( N \) при делении на 10 даёт остаток 2. \( N \equiv 2 \pmod{10} \).

Таким образом, \( N-2 \) делится без остатка на 3, 4, 6 и 10.

Чтобы найти наименьшее количество мешков, нам нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел 3, 4, 6 и 10.

1. Разложим числа на простые множители:
• \( 3 = 3 \)
• \( 4 = 2^2 \)
• \( 6 = 2 \times 3 \)
• \( 10 = 2 \times 5 \)
2. Найдем НОК, взяв каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях:
• \( \text{НОК}(3, 4, 6, 10) = 2^2 \times 3 \times 5 = 4 \times 3 \times 5 = 12 \times 5 = 60 \)

Значит, \( N-2 \) делится на 60. Наименьшее значение \( N-2 \) равно 60.

\( N-2 = 60 \)

\( N = 60 + 2 \)

\( N = 62 \)

Проверим:

• \( 62 : 3 = 20 \) (ост. 2)
• \( 62 : 4 = 15 \) (ост. 2)
• \( 62 : 6 = 10 \) (ост. 2)
• \( 62 : 10 = 6 \) (ост. 2)

Наименьшее возможное количество мешков с солью — 62.

Ответ: 62 мешка.