Группа 2 Решите иррациональные уравнения « 3 » (16) 1. √14- 5x = 3 2. √2x + 3 = x 3. x + 1 = √8 - 4x 4.√x + 3 =√5 - x « 4 » (26) 5. √4x2 – 3x - 1 = x + 1 =x+1 6. √x + 17 - √x + 1 = 2 « 5 » (36) 7. √x + 7 - √x + 2 = √3x + 19 8.3 - x = √9 - √36x2 – 5x4

Решение иррациональных уравнений

1. \(\sqrt{14-5x} = 3\)

Краткое пояснение: Чтобы избавиться от квадратного корня, возводим обе части уравнения в квадрат и решаем полученное уравнение.

1. Возводим обе части уравнения в квадрат: \[(\sqrt{14-5x})^2 = 3^2\] \[14 - 5x = 9\]
2. Переносим известные члены в правую часть уравнения: \[-5x = 9 - 14\] \[-5x = -5\]
3. Делим обе части уравнения на -5: \[x = \frac{-5}{-5}\] \[x = 1\]
4. Проверка: \[\sqrt{14 - 5 \cdot 1} = \sqrt{14 - 5} = \sqrt{9} = 3\]

Ответ: x = 1

---

2. \(\sqrt{2x+3} = x\)

Краткое пояснение: Возводим обе части в квадрат и решаем квадратное уравнение.

1. Возводим обе части уравнения в квадрат: \[(\sqrt{2x+3})^2 = x^2\] \[2x + 3 = x^2\]
2. Переносим все члены в правую часть уравнения: \[x^2 - 2x - 3 = 0\]
3. Решаем квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \[D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16\]
4. Найдем корни уравнения: \[x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3\] \[x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1\]
5. Проверка:
   • Для x = 3: \[\sqrt{2 \cdot 3 + 3} = \sqrt{6 + 3} = \sqrt{9} = 3\]
   • Для x = -1: \[\sqrt{2 \cdot (-1) + 3} = \sqrt{-2 + 3} = \sqrt{1} = 1
     eq -1\] (не подходит, так как арифметический квадратный корень не может быть отрицательным)

Ответ: x = 3

---

3. \(x + 1 = \sqrt{8 - 4x}\)

Краткое пояснение: Возводим обе части в квадрат, решаем квадратное уравнение и проверяем корни.

1. Возводим обе части уравнения в квадрат: \[(x + 1)^2 = (\sqrt{8 - 4x})^2\] \[x^2 + 2x + 1 = 8 - 4x\]
2. Переносим все члены в левую часть уравнения: \[x^2 + 2x + 4x + 1 - 8 = 0\] \[x^2 + 6x - 7 = 0\]
3. Решаем квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \[D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64\]
4. Найдем корни уравнения: \[x_1 = \frac{-6 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 8}{2} = \frac{2}{2} = 1\] \[x_2 = \frac{-6 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 8}{2} = \frac{-14}{2} = -7\]
5. Проверка:
   • Для x = 1: \[1 + 1 = \sqrt{8 - 4 \cdot 1}\] \[2 = \sqrt{4}\] \[2 = 2\]
   • Для x = -7: \[-7 + 1 = \sqrt{8 - 4 \cdot (-7)}\] \[-6 = \sqrt{8 + 28}\] \[-6 = \sqrt{36}\] \[-6 = 6\] (не подходит, так как -6 не равно 6)

Ответ: x = 1

---

4. \(\sqrt{x+3} = \sqrt{5-x}\)

Краткое пояснение: Возводим обе части в квадрат и решаем линейное уравнение.

1. Возводим обе части уравнения в квадрат: \[(\sqrt{x+3})^2 = (\sqrt{5-x})^2\] \[x + 3 = 5 - x\]
2. Переносим известные члены в правую часть, а неизвестные в левую: \[x + x = 5 - 3\] \[2x = 2\]
3. Делим обе части уравнения на 2: \[x = \frac{2}{2}\] \[x = 1\]
4. Проверка: \[\sqrt{1 + 3} = \sqrt{5 - 1}\] \[\sqrt{4} = \sqrt{4}\] \[2 = 2\]

Ответ: x = 1

---

5. \(\sqrt{4x^2 - 3x - 1} = x + 1\)

Краткое пояснение: Возводим обе части в квадрат, решаем квадратное уравнение и проверяем корни.

1. Возводим обе части уравнения в квадрат: \[(\sqrt{4x^2 - 3x - 1})^2 = (x + 1)^2\] \[4x^2 - 3x - 1 = x^2 + 2x + 1\]
2. Переносим все члены в левую часть уравнения: \[4x^2 - x^2 - 3x - 2x - 1 - 1 = 0\] \[3x^2 - 5x - 2 = 0\]
3. Решаем квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \[D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49\]
4. Найдем корни уравнения: \[x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2\] \[x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}\]
5. Проверка:
   • Для x = 2: \[\sqrt{4 \cdot 2^2 - 3 \cdot 2 - 1} = 2 + 1\] \[\sqrt{16 - 6 - 1} = 3\] \[\sqrt{9} = 3\] \[3 = 3\]
   • Для x = -\frac{1}{3}: \[\sqrt{4 \cdot (-\frac{1}{3})^2 - 3 \cdot (-\frac{1}{3}) - 1} = -\frac{1}{3} + 1\] \[\sqrt{\frac{4}{9} + 1 - 1} = \frac{2}{3}\] \[\sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}\] \[\frac{2}{3} = \frac{2}{3}\]

Ответ: x = 2, x = -1/3

---

6. \(\sqrt{x+17} - \sqrt{x+1} = 2\)

Краткое пояснение: Переносим один из корней в правую часть, возводим обе части в квадрат и упрощаем уравнение.

1. Переносим \(\sqrt{x+1}\) в правую часть: \[\sqrt{x+17} = 2 + \sqrt{x+1}\]
2. Возводим обе части уравнения в квадрат: \[(\sqrt{x+17})^2 = (2 + \sqrt{x+1})^2\] \[x + 17 = 4 + 4\sqrt{x+1} + x + 1\]
3. Упрощаем уравнение: \[x + 17 = x + 5 + 4\sqrt{x+1}\] \[12 = 4\sqrt{x+1}\]
4. Делим обе части на 4: \[3 = \sqrt{x+1}\]
5. Возводим обе части в квадрат: \[3^2 = (\sqrt{x+1})^2\] \[9 = x + 1\]
6. Находим x: \[x = 9 - 1\] \[x = 8\]
7. Проверка: \[\sqrt{8+17} - \sqrt{8+1} = \sqrt{25} - \sqrt{9} = 5 - 3 = 2\]

Ответ: x = 8

---

7. \(\sqrt{x+7} - \sqrt{x+2} = \sqrt{3x+19}\)

Краткое пояснение: Возводим обе части в квадрат, упрощаем уравнение и решаем полученное уравнение.

1. Возводим обе части уравнения в квадрат: \[(\sqrt{x+7} - \sqrt{x+2})^2 = (\sqrt{3x+19})^2\] \[(x+7) - 2\sqrt{(x+7)(x+2)} + (x+2) = 3x+19\]
2. Упрощаем уравнение: \[2x + 9 - 2\sqrt{x^2 + 9x + 14} = 3x + 19\] \[-2\sqrt{x^2 + 9x + 14} = x + 10\]
3. Возводим обе части в квадрат: \[(-2\sqrt{x^2 + 9x + 14})^2 = (x + 10)^2\] \[4(x^2 + 9x + 14) = x^2 + 20x + 100\] \[4x^2 + 36x + 56 = x^2 + 20x + 100\]
4. Переносим все члены в левую часть: \[3x^2 + 16x - 44 = 0\]
5. Решаем квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \[D = 16^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-44) = 256 + 528 = 784\]
6. Найдем корни уравнения: \[x_1 = \frac{-16 + \sqrt{784}}{2 \cdot 3} = \frac{-16 + 28}{6} = \frac{12}{6} = 2\] \[x_2 = \frac{-16 - \sqrt{784}}{2 \cdot 3} = \frac{-16 - 28}{6} = \frac{-44}{6} = -\frac{22}{3}\]
7. Проверка:
   • Для x = 2: \[\sqrt{2+7} - \sqrt{2+2} = \sqrt{3 \cdot 2 + 19}\] \[\sqrt{9} - \sqrt{4} = \sqrt{25}\] \[3 - 2 = 5\] \[1 = 5\] (не подходит)
   • Для x = -\frac{22}{3}: Значения под корнями будут отрицательными, что невозможно.

Ответ: нет решений

---

8. \(3 - x = \sqrt{9 - \sqrt{36x^2 - 5x^4}}\)

Краткое пояснение: Возводим обе части в квадрат и упрощаем уравнение.

1. Возводим обе части уравнения в квадрат: \[(3-x)^2 = (\sqrt{9 - \sqrt{36x^2 - 5x^4}})^2\] \[9 - 6x + x^2 = 9 - \sqrt{36x^2 - 5x^4}\]
2. Упрощаем уравнение: \[-6x + x^2 = -\sqrt{36x^2 - 5x^4}\] \[6x - x^2 = \sqrt{36x^2 - 5x^4}\]
3. Возводим обе части в квадрат: \[(6x - x^2)^2 = (\sqrt{36x^2 - 5x^4})^2\] \[36x^2 - 12x^3 + x^4 = 36x^2 - 5x^4\]
4. Переносим все члены в левую часть: \[6x^4 - 12x^3 = 0\]
5. Выносим общий множитель: \[6x^3(x - 2) = 0\]
6. Находим корни:
   • \(6x^3 = 0 \Rightarrow x = 0\)
   • \(x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2\)
7. Проверка:
   • Для x = 0: \[3 - 0 = \sqrt{9 - \sqrt{36 \cdot 0^2 - 5 \cdot 0^4}}\] \[3 = \sqrt{9 - 0}\] \[3 = 3\]
   • Для x = 2: \[3 - 2 = \sqrt{9 - \sqrt{36 \cdot 2^2 - 5 \cdot 2^4}}\] \[1 = \sqrt{9 - \sqrt{144 - 80}}\] \[1 = \sqrt{9 - \sqrt{64}}\] \[1 = \sqrt{9 - 8}\] \[1 = \sqrt{1}\] \[1 = 1\]

Ответ: x = 0, x = 2