Граф может иметь двенадцать вершин нечётной степени.

Задание 3

Теория:

По лемме о рукопожатиях (или теореме Эйлера о степенях вершин), сумма степеней всех вершин в любом графе всегда равна удвоенному числу его ребер. Это означает, что сумма степеней является чётным числом.

Следствием из этого является то, что количество вершин с нечётной степенью в любом графе всегда является чётным числом.

Анализ вариантов:

• Граф может иметь двенадцать вершин нечётной степени.
• Двенадцать — это чётное число. Таким образом, граф может иметь двенадцать вершин нечётной степени.
• Граф может иметь пять вершин нечётной степени.
• Пять — это нечётное число. Согласно лемме о рукопожатиях, количество вершин с нечётной степенью всегда должно быть чётным. Следовательно, граф не может иметь пять вершин нечётной степени.
• Граф может иметь десять вершин нечётной степени.
• Десять — это чётное число. Таким образом, граф может иметь десять вершин нечётной степени.
• Граф может иметь четыре вершины нечётной степени.
• Четыре — это чётное число. Таким образом, граф может иметь четыре вершины нечётной степени.

Ответ: Граф может иметь двенадцать вершин нечётной степени., Граф может иметь десять вершин нечётной степени., Граф может иметь четыре вершины нечётной степени.