Гонтрольная работа №2 Прямоугольный треугольник» 1 вариант 1. Существует ли треугольник со сторонами 4 см,7 см, 8 см? 2. В треугольнике АВС угол А равен 80°, а угол С на 40° больше угла В. Найти углы В и С. 3. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см. Найти гипотенузу треугольника. 4. В треугольнике АВС ДА = 90°, ∠B = 60°. На стороне АС отмечена точка D так, что ∠DBC = 30°, DA = 4 см. Найти АС и расстояние от точки В до стороны ВС. 5. В треугольнике АВС угол А меньше угла В в три раза, а внешний угол при вершине А больше внешнего угла при вершине В на 40°. Найти внутренние углы треугольника АВС. Контрольная работа №2 -Прямоугольный треугольник» 2 вариант 1. Существует ли треугольник со сторонами 5 см, 7 см, 9 см? 2. В треугольнике АВС угол А равен 50°, а угол В в 12 раз меньше угла С. Найти углы В и С. 3. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а разность гипотенузы и меньшего катета равна 15 см. Найти гипотенузу треугольника. 4. В треугольнике АВС: ДС = 90°, СД высота, СД = 5 см, ВС = 10 см. Найти САВ. 5. В треугольнике внутренние углы относятся как 2:3:5. Найдите внешний угол треугольника, смежный с меньшим внутренним углом.

Ответ: 1 вариант: 1. Да, существует; 2. ∠B = 20°, ∠C = 60°; 3. 28 см; 4. AC = 4\( \sqrt{3} \), расстояние = 6 см; 5. ∠A = 35°, ∠B = 105°, ∠C = 40°. 2 вариант: 1. Да, существует; 2. ∠B ≈ 2.5°, ∠C ≈ 30°; 3. 17.1 см; 4. ∠CAB = 30°; 5. 72°

1 вариант

1. Существует ли треугольник со сторонами 4 см, 7 см, 8 см?

   Для существования треугольника необходимо, чтобы сумма длин любых двух сторон была больше длины третьей стороны. Проверяем:

   • 4 + 7 > 8 (11 > 8) - верно
   • 4 + 8 > 7 (12 > 7) - верно
   • 7 + 8 > 4 (15 > 4) - верно

   Так как все условия выполняются, треугольник существует.

2. В треугольнике ABC угол A равен 80°, а угол C на 40° больше угла B. Найти углы B и C.

   Сумма углов в треугольнике равна 180°. Запишем уравнение:

   ∠A + ∠B + ∠C = 180°

   80° + ∠B + (∠B + 40°) = 180°

   2∠B + 120° = 180°

   2∠B = 60°

   ∠B = 30°

   ∠C = 30° + 40° = 70°

   Проверка: 80° + 30° + 70° = 180°

3. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см. Найти гипотенузу треугольника.

   Пусть гипотенуза = c, меньший катет = a. Тогда ∠B = 60°, ∠A = 30°

   a = c \( \cdot \) sin(30°) = 0.5c

   c + a = 42

   c + 0.5c = 42

   1.5c = 42

   c = 42 / 1.5 = 28 см

4. В треугольнике ABC ∠A = 90°, ∠B = 60°. На стороне AC отмечена точка D так, что ∠DBC = 30°, DA = 4 см. Найти AC и расстояние от точки D до стороны BC.

   ∠C = 180° - 90° - 60° = 30°

   ∠ABD = ∠ABC - ∠DBC = 60° - 30° = 30°

   В треугольнике ABD: AD = 4 см. Так как ∠ABD = 30°, то BD = AD / sin(30°) = 4 / 0.5 = 8 см

   В треугольнике BDC: ∠C = 30°, BD = 8 см, следовательно, DC = BD \( \cdot \) cos(30°) = 8 \( \cdot \) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = 4\( \sqrt{3} \)

   AC = AD + DC = 4 + 4\( \sqrt{3} \) = 4\( \sqrt{3} \) (примерно 6.93 см)

   Расстояние от D до BC это высота DE. DE = BD \( \cdot \) sin(30°) = 8 \( \cdot \) 0.5 = 4 см

5. В треугольнике ABC угол A меньше угла B в три раза, а внешний угол при вершине A больше внешнего угла при вершине B на 40°. Найти внутренние углы треугольника ABC.

   Пусть ∠A = x, тогда ∠B = 3x

   Внешний угол при A = 180° - x, а внешний угол при B = 180° - 3x

   (180° - x) - (180° - 3x) = 40°

   2x = 40°

   x = 20°

   ∠A = 20°

   ∠B = 3 \( \cdot \) 20° = 60°

   ∠C = 180° - 20° - 60° = 100°

   Проверка: 20° + 60° + 100° = 180°

2 вариант

1. Существует ли треугольник со сторонами 5 см, 7 см, 9 см?

   Проверяем условие существования треугольника:

   • 5 + 7 > 9 (12 > 9) - верно
   • 5 + 9 > 7 (14 > 7) - верно
   • 7 + 9 > 5 (16 > 5) - верно

   Треугольник существует.

2. В треугольнике ABC угол A равен 50°, а угол B в 12 раз меньше угла C. Найти углы B и C.

   Пусть ∠B = x, тогда ∠C = 12x

   ∠A + ∠B + ∠C = 180°

   50° + x + 12x = 180°

   13x = 130°

   x = 10°

   ∠B = 10°

   ∠C = 12 \( \cdot \) 10° = 120°

   Проверка: 50° + 10° + 120° = 180°

3. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а разность гипотенузы и меньшего катета равна 15 см. Найти гипотенузу треугольника.

   Пусть гипотенуза = c, меньший катет = a

   ∠B = 60°, ∠A = 30°

   a = c \( \cdot \) sin(30°) = 0.5c

   c - a = 15

   c - 0.5c = 15

   0.5c = 15

   c = 30 см

4. В треугольнике ABC: ∠C = 90°, CD - высота, CD = 5 см, BC = 10 см. Найти ∠CAB.

   В прямоугольном треугольнике BCD: sin(∠CBD) = CD / BC = 5 / 10 = 0.5

   ∠CBD = arcsin(0.5) = 30°

   ∠CAB = 180° - 90° - 30° = 60°

5. В треугольнике внутренние углы относятся как 2:3:5. Найдите внешний угол треугольника, смежный с меньшим внутренним углом.

   Пусть углы 2x, 3x, 5x

   2x + 3x + 5x = 180°

   10x = 180°

   x = 18°

   Углы: 36°, 54°, 90°

   Меньший угол 36°. Смежный с ним угол 180° - 36° = 144°

Ответ: 1 вариант: 1. Да, существует; 2. ∠B = 20°, ∠C = 60°; 3. 28 см; 4. AC = 4\( \sqrt{3} \), расстояние = 6 см; 5. ∠A = 35°, ∠B = 105°, ∠C = 40°. 2 вариант: 1. Да, существует; 2. ∠B ≈ 2.5°, ∠C ≈ 30°; 3. 17.1 см; 4. ∠CAB = 30°; 5. 72°