Главная > Математика > Задачи на применение признаков равенства треугольников (решение задач по готовым чертежам) A B C D F e M Задача 7 Дано: A AMF. Доказать: ∠ MC - биссектриса BMD.

Рассмотрим рисунок и условие задачи.

Необходимо доказать, что ∠МС - биссектриса ∠BMD.

Для доказательства используем признаки равенства треугольников.

На рисунке видно, что:

• AB = BC = CD = DF (отмечено на рисунке);
• AM = MF (отмечено на рисунке).

Рассмотрим треугольники ABM, BCM, CDM и DFM.

1) Рассмотрим треугольники ABM и DFM:

• AB = DF (по условию);
• AM = MF (по условию);
• ∠A = ∠F (так как треугольник AMF равнобедренный).

Следовательно, треугольники ABM и DFM равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует, что BM = DM.

2) Рассмотрим треугольники BCM и CDM:

• BC = CD (по условию);
• BM = DM (доказано выше);
• CM - общая сторона.

Следовательно, треугольники BCM и CDM равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников BCM и CDM следует, что ∠BCM = ∠DCM.

Таким образом, CM - биссектриса угла BMD, так как она делит угол BMD на два равных угла (∠BCM и ∠DCM).

Ответ: ∠MC - биссектриса ∠BMD.